Trasformata di Fourier
Scusate devo calcolare la trasformata di Fourier della funzione
$f(x)=sqrt(a)e^-(ax^2) cosx$ con $a>0$ è la prima volta che lo faccio per dir la verità, ho visto la definizione è devrei fare solo l'integrale
$int_(-oo)^(+oo) sqrt(a/(2pi))e^-(ax^2) cosx e^(-ikx)dx=int_(-oo)^(+oo) sqrt(a/(2pi))e^-(ax^2-ikx) cosx dx$
Prima di mettermi ad integrale per parti vorrei sapere c'è un modo più furbo?
Si integra per parti giusto?
EDIT: Ho modificato da Furier a Fourier, non mi sembrava il caso di lasciarlo errato. LB
$f(x)=sqrt(a)e^-(ax^2) cosx$ con $a>0$ è la prima volta che lo faccio per dir la verità, ho visto la definizione è devrei fare solo l'integrale
$int_(-oo)^(+oo) sqrt(a/(2pi))e^-(ax^2) cosx e^(-ikx)dx=int_(-oo)^(+oo) sqrt(a/(2pi))e^-(ax^2-ikx) cosx dx$
Prima di mettermi ad integrale per parti vorrei sapere c'è un modo più furbo?
Si integra per parti giusto?
EDIT: Ho modificato da Furier a Fourier, non mi sembrava il caso di lasciarlo errato. LB
Risposte
Il tizio in questione si chiama Jean Baptiste Joseph Fourier (non Furier).
Ti conviene vedere il coseno come la parte reale di $e^{ix}$, oppure come $(e^{ix}+e^{-ix})/2$. A questo punto ti rimane da integrare una funzione del tipo $e^{-ax^2 + ibx}$; tale integrale può essere calcolato col metodo dei residui (traslando il cammino di integrazione su una retta parallela all'asse reale).
Più precisamente:
$\int_{\RR} e^{-ax^2+ibx} dx = \int_{\RR} e^{-a(x-ib/(2a))^2} e^{-b^2/(4a)} dx = e^{-b^2/(4a)} \int_{\RR-ib/(2a)} e^{-a z^2} dz$.
L'ultimo integrale, per il teorema dei residui, coincide con $\int_{\RR} e^{-ay^2} dy = \sqrt{\pi/a}$ (supponendo $a>0$).
Ti conviene vedere il coseno come la parte reale di $e^{ix}$, oppure come $(e^{ix}+e^{-ix})/2$. A questo punto ti rimane da integrare una funzione del tipo $e^{-ax^2 + ibx}$; tale integrale può essere calcolato col metodo dei residui (traslando il cammino di integrazione su una retta parallela all'asse reale).
Più precisamente:
$\int_{\RR} e^{-ax^2+ibx} dx = \int_{\RR} e^{-a(x-ib/(2a))^2} e^{-b^2/(4a)} dx = e^{-b^2/(4a)} \int_{\RR-ib/(2a)} e^{-a z^2} dz$.
L'ultimo integrale, per il teorema dei residui, coincide con $\int_{\RR} e^{-ay^2} dy = \sqrt{\pi/a}$ (supponendo $a>0$).
Si l'avevo visto il coseno in forma esponeziale, ma non riesco a concludere, il proff da come suggerimento da usare che
$ int _RR e^(-x^2) =sqrt(pi)$
Io sono arrivata a scrivere
$sqrt(1/(2pi))1/2 [int_RR e^-[ax^2+i(k-1)x ] dx+int_RR e^-[ax^2+i(k+1)x ] dx]$
sono sicura che devo moltiplicare per qualcosa per farmi uscire il quadrato...
Grazie
P.s.
Il corso di analisi complessa l'ho fatto lo scorso hanno ma credo che il proff di fisica mate non voglia che usiamo il teorema dei residui...
$ int _RR e^(-x^2) =sqrt(pi)$
Io sono arrivata a scrivere
$sqrt(1/(2pi))1/2 [int_RR e^-[ax^2+i(k-1)x ] dx+int_RR e^-[ax^2+i(k+1)x ] dx]$
sono sicura che devo moltiplicare per qualcosa per farmi uscire il quadrato...
Grazie
P.s.
Il corso di analisi complessa l'ho fatto lo scorso hanno ma credo che il proff di fisica mate non voglia che usiamo il teorema dei residui...
Il teorema dei residui lo usi solo per dire che i due integrali che ho indicato sono uguali (non devi realmente calcolare residui, visto che non ci sono poli).
In ogni caso, sono soprattutto i fisici che usano il metodo dei residui per calcolare gli integrali!
In ogni caso, sono soprattutto i fisici che usano il metodo dei residui per calcolare gli integrali!
Rigel mi viene così che dici va bene?
$1/2sqrt(a/2)(e^(-(k-1)^2/(4a))+e^(-(k+1)^2/(4a)))$
$1/2sqrt(a/2)(e^(-(k-1)^2/(4a))+e^(-(k+1)^2/(4a)))$
Mi sembra che non debba esserci la $\sqrt{a}$ a moltiplicare la tonda.
$sqrt(a)$ credo ci sia dato che è la prima cosa che porto fuori quando calcolo l'integrale...Però forse sbaglio, non so...
P.s
Se non sono troppo insistente e hai tempo potresti dare un'occhiata a questo problema vorrei capire se va bene grazie.
equazione-differenziale-alle-derivate-parziali-t79412.html
P.s
Se non sono troppo insistente e hai tempo potresti dare un'occhiata a questo problema vorrei capire se va bene grazie.
equazione-differenziale-alle-derivate-parziali-t79412.html
Tieni conto che
L'altro post è diventato illeggibile (ma ti dico subito che, in ogni caso, non ho molta voglia di controllare i conti; al più posso vedere se va bene il ragionamento generale, cosa che però mi sembra abbia già fatto gugo).
"Rigel":
$\int_{\RR} e^{-ay^2} dy = \sqrt{\pi/a}$ (supponendo $a>0$).
L'altro post è diventato illeggibile (ma ti dico subito che, in ogni caso, non ho molta voglia di controllare i conti; al più posso vedere se va bene il ragionamento generale, cosa che però mi sembra abbia già fatto gugo).
Il proff da come suggerimento che $int_ (RR) dx e^(-x^2)=int_(RR) dx e^(-(x+alpha)^2)=sqrt(pi)$ con $alpha in CC$ io ho usato quello...
Cmq ricontrollo i conti...
Grazie
Cmq ricontrollo i conti...
Grazie
Infatti, usando quell'integrale e facendo il cambio di variabile $x = \sqrt{a} y$ ottieni esattamente l'integrale che ho scritto io:
$\int_{\RR} e^{-ay^2} dy = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{\RR} e^{-x^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}.$
$\int_{\RR} e^{-ay^2} dy = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{\RR} e^{-x^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}.$
ok ora mi torna grazie.
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