Trasformata di Fourier
Perchè la trasformata di Fourier si definisce solo su tutto $RR^n$ e non
anche su un aperto generico?
anche su un aperto generico?
Risposte
Ho chiesto a P.
Mi ha detto che si può fare benissimo ma non ci fai nulla.
Motivo: non hai più un gruppo e il suo duale (l'aperto $\Omega$ non è invariante per traslazioni)
Sicuramente ti perdi la convoluzione, poi hai anche altri problemi.
Infatti fare
$\int_{\Omega}{exp(i x \xi) f(x) dx}$
è come fare la trasformata di Fourier (su $RR^n$) della funzione $f*\chi_{\Omega}$ (che è molto singolare anche se $f$ è regolarissima).
Quindi non puoi più "leggere" le proprietà di regolarità della $f$ dalle proprietà di decadimento della sua trasformata.
Inoltre nell'ambito delle equazioni differenziali si può dire quello che ti ho detto già in pm (se vuoi provo a rispiegartelo).
EDIT: può non puà!!!
Mi ha detto che si può fare benissimo ma non ci fai nulla.
Motivo: non hai più un gruppo e il suo duale (l'aperto $\Omega$ non è invariante per traslazioni)
Sicuramente ti perdi la convoluzione, poi hai anche altri problemi.
Infatti fare
$\int_{\Omega}{exp(i x \xi) f(x) dx}$
è come fare la trasformata di Fourier (su $RR^n$) della funzione $f*\chi_{\Omega}$ (che è molto singolare anche se $f$ è regolarissima).
Quindi non puoi più "leggere" le proprietà di regolarità della $f$ dalle proprietà di decadimento della sua trasformata.
Inoltre nell'ambito delle equazioni differenziali si può dire quello che ti ho detto già in pm (se vuoi provo a rispiegartelo).
EDIT: può non puà!!!
"irenze":
Inoltre nell'ambito delle equazioni differenziali si puà dire quello che ti ho detto già in pm (se vuoi provo a rispiegartelo).
certamente mi interessa!
Ok, ci riprovo.
Leggi la trasformata di Fourier puntualmente come un prodotto scalare in $L^2$ (a valori complessi). Dunque $\hat{f}(\xi) = (f , e^{ix*\xi})$.
Se tu prendi un'equazione alle derivate parziali, risolvendo in Fourier trovi una funzione delle frequenze.
Per poter tornare indietro e ritovare la soluzione dell'equazione di partenza, devi poter "ricostruire" questa soluzione come serie (in questo caso integrale) di certi "coefficienti" (la trasformata della soluzione valutata nei punti) per funzioni che formino una base ortogonale di $L^2$ dello spazio di partenza. Nel caso dell'aperto $\Omega$ generico, gli esponenziali complessi non svolgono più questo ruolo (credo che possano essere "sostituiti" da una base ortonormale di autofunzioni del Laplaciano con condizioni di Dirichlet).
P.S. Se ho detto castronerie, qualcuno mi corregga perché qui uso abbondante intuito e poca conoscenza specifica!!!
Leggi la trasformata di Fourier puntualmente come un prodotto scalare in $L^2$ (a valori complessi). Dunque $\hat{f}(\xi) = (f , e^{ix*\xi})$.
Se tu prendi un'equazione alle derivate parziali, risolvendo in Fourier trovi una funzione delle frequenze.
Per poter tornare indietro e ritovare la soluzione dell'equazione di partenza, devi poter "ricostruire" questa soluzione come serie (in questo caso integrale) di certi "coefficienti" (la trasformata della soluzione valutata nei punti) per funzioni che formino una base ortogonale di $L^2$ dello spazio di partenza. Nel caso dell'aperto $\Omega$ generico, gli esponenziali complessi non svolgono più questo ruolo (credo che possano essere "sostituiti" da una base ortonormale di autofunzioni del Laplaciano con condizioni di Dirichlet).
P.S. Se ho detto castronerie, qualcuno mi corregga perché qui uso abbondante intuito e poca conoscenza specifica!!!
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