Trasformata di fourier
ciao a tutti,
ho svolto da qualche giorno lo scritto di metodi matematici e tra i vari esercizi quello più ostico è risultato essere quello da svolgere con la trasformata di fourier, il testo è il seguente:
$f(x) = sign(x) cos (pi x) (1 - |x|)^+ $
dove $sign(x) = x/|x| per x != 0 $ e $ 0 per x = 0 $
ogni consiglio o ancor meglio metodo risolutivo è ben accetto, grazie in anticipo a chiunque voglia darmi una mano e spero di non aver sbagliato ad usare il mathML
ho svolto da qualche giorno lo scritto di metodi matematici e tra i vari esercizi quello più ostico è risultato essere quello da svolgere con la trasformata di fourier, il testo è il seguente:
$f(x) = sign(x) cos (pi x) (1 - |x|)^+ $
dove $sign(x) = x/|x| per x != 0 $ e $ 0 per x = 0 $
ogni consiglio o ancor meglio metodo risolutivo è ben accetto, grazie in anticipo a chiunque voglia darmi una mano e spero di non aver sbagliato ad usare il mathML
Risposte
Quel $+$ all'esponente che vuol dire?
io di solito uso il più all'esponente per indicare la moltiplicazione con lo unity step; ma aspetto lumi dall'autore
il + all'esponente indica che quello che è contenuto tra parentesi è valido solo per x > 0 e 0 altrimenti,
per lo meno così è stato inteso...
per lo meno così è stato inteso...
"jonnao":
il + all'esponente indica che quello che è contenuto tra parentesi è valido solo per x > 0 e 0 altrimenti,
per lo meno così è stato inteso...
Non capisco a questo punto che senso abbia moltiplicare il tutto per $sign(x)$
La funzione segno serve solo per mettere un segno che cambia (non a caso si chiama cosi'...).
Certo, ma se già si è moltiplicato per il gradino unitario, moltiplicare anche per $sign(x)$ mi sembra ridondante... o no?
La funzione segno sarebbe ridondante se tutto quello che la moltiplica fosse positivo (negativo) per $x<0$ e negativo (positivo) per $x>0$. Non mi pare questo il caso...
Luca, scusami se insisto, ma non me ne capacito...
Visto che nel nostro caso il prodotto è commutativo e associativo, possiamo considerare il prodotto tra la funzione segno e la funzione gradino, il tutto moltiplicato per ciò che rimane.
Orbene, il prodotto tra $sign(x)$ e $u(x)$ (con $u$ indico il gradino) non è uguale proprio a $u(x)$?
Visto che nel nostro caso il prodotto è commutativo e associativo, possiamo considerare il prodotto tra la funzione segno e la funzione gradino, il tutto moltiplicato per ciò che rimane.
Orbene, il prodotto tra $sign(x)$ e $u(x)$ (con $u$ indico il gradino) non è uguale proprio a $u(x)$?
Che intendi con gradino?
Con gradino intendo una funzione che vale:
$1$ per $x>=0$
$0$ per $x<0$
$1$ per $x>=0$
$0$ per $x<0$
Io pero' non ci vedo nessun gradino nella definizione di $f$...
Inizialmente non ce lo vedevo neppure io, poi è stato specificato che quel $+$ all'esponente rappresenta il prodotto per il gradino...
No, aspetta, il $+$ all'esponente sta a significare la parte positiva della funzione, non il prodotto per il gradino. Ovvero $(1-|x|)^+$ e' la funzione che vale $1-|x|$ se $1-|x|>0$, e $0$ altrimenti.
Ah ok tutto risolto...
A dire il vero mi ero fidato di jonnao quando ha detto:
A dire il vero mi ero fidato di jonnao quando ha detto:
"jonnao":
il + all'esponente indica che quello che è contenuto tra parentesi è valido solo per x > 0 e 0 altrimenti,
per lo meno così è stato inteso...
esatto luca era quello che volevo intendere, forse mi son spiegato male 
giusto per la cronaca, vi posto il modo con cui sono giunto ad una soluzione:
avendo la trasformata nota di $ sign(x) e^(-a|x|) = ((-2iw)/(a^2 + w^2)) $
ma che non ha solo la componete del segno ma anche un esponenziale, quindi SE fosse possibile mi sono mosso nella direzione di dividere la suddetta trasformata per la sola trasformata di
$e^(-a|x|)$ che corrisponde a $(2a)/(a^2 + w^2)$,
restituendomi $(-iw)/a$
che andrebbe poi moltiplicato per la trasformata nota di una funzione moltiplicata per il coseno:
$(1/2)*[(-i( w - pi))/a + (-i(w + pi))/a]$
avendo poi la trasformata di $(1 -|x|)^+$
che risulta essere $(4sen^2((aw)/2))/w^2$
e moltiplicando tra loro le due trasformate ottengo il risultato.
è giusto secondo voi ??
avendo la trasformata nota di $ sign(x) e^(-a|x|) = ((-2iw)/(a^2 + w^2)) $
ma che non ha solo la componete del segno ma anche un esponenziale, quindi SE fosse possibile mi sono mosso nella direzione di dividere la suddetta trasformata per la sola trasformata di
$e^(-a|x|)$ che corrisponde a $(2a)/(a^2 + w^2)$,
restituendomi $(-iw)/a$
che andrebbe poi moltiplicato per la trasformata nota di una funzione moltiplicata per il coseno:
$(1/2)*[(-i( w - pi))/a + (-i(w + pi))/a]$
avendo poi la trasformata di $(1 -|x|)^+$
che risulta essere $(4sen^2((aw)/2))/w^2$
e moltiplicando tra loro le due trasformate ottengo il risultato.
è giusto secondo voi ??
no, dividere in un dominio non equivale a dividere nel dominio trasformato
Quindi in definitiva la funzione vale:
$(1-x)cos(pix)$ per $0
$(-1-x)cos(pix)$ per $-1<=x<0$
Il punto $0$ può essere ignorato essendo un insieme a misura nulla. Possiamo inoltre scrivere la funzione come:
$f(x) = [-xcos(pix) + sign(x)cos(pix)] rect(x/2)$
Adesso considera i due addendi separatamente... non devi fare altro che derivare nel senso delle distribuzioni il coseno finché la funzione non torna nella forma di partenza (quante volte devi derivare il coseno affinché ritorno un coseno?) e utilizzare la prima formula fondamentale per quell'$x$ che moltiplica il coseno... Prova da solo, magari se hai dubbi chiedi...
$(1-x)cos(pix)$ per $0
$(-1-x)cos(pix)$ per $-1<=x<0$
Il punto $0$ può essere ignorato essendo un insieme a misura nulla. Possiamo inoltre scrivere la funzione come:
$f(x) = [-xcos(pix) + sign(x)cos(pix)] rect(x/2)$
Adesso considera i due addendi separatamente... non devi fare altro che derivare nel senso delle distribuzioni il coseno finché la funzione non torna nella forma di partenza (quante volte devi derivare il coseno affinché ritorno un coseno?) e utilizzare la prima formula fondamentale per quell'$x$ che moltiplica il coseno... Prova da solo, magari se hai dubbi chiedi...
francamente non capisco dove stai andando a parare, prima di tutto cosa significa $rect (x/2)$
e poi:
non devi fare altro che derivare nel senso delle distribuzioni il coseno finché la funzione non torna nella forma di partenza,
boh scusa la mia ignoranza ma potresti ripeterti in altre parole
Posso capire la notazione... $rect(x/2)$ è una funzione che vale $1$ in $[-1,1]$ e $0$ altrove...
Non capisco invece le tue perplessità sul resto... ho usato una terminologia che a chi ha intenzione di sostenere metodi matematici non dovrebbe essere oscura...
Cmq sia, mi esprimerò in termini diversi...
Vogliamo calcolare la trasformata di Fourier della funzione $f(x)$ che vale:
$cos(pix)$ per $-1<=x<=1$
$0$ altrove
Deriviamo una volta $f$ nel senso delle distribuzioni, risulta:
$f' = pisin(pix)rect(x/2) - delta(x+1) + delta(x-1)$
Deriviamo un'altra volta:
$f'' = pi^2 cos(pix)rect(x/2) - delta'(x+1) + delta'(x-1)$
Se ora ricordiamo che $f(x)=cos(pix)rect(x/2)$, risulta:
$f''(x)=pi^2f(x) - delta'(x+1) + delta'(x-1)$
Adesso basta trasformare entrambi i membri e poi...
Non capisco invece le tue perplessità sul resto... ho usato una terminologia che a chi ha intenzione di sostenere metodi matematici non dovrebbe essere oscura...
Cmq sia, mi esprimerò in termini diversi...
Vogliamo calcolare la trasformata di Fourier della funzione $f(x)$ che vale:
$cos(pix)$ per $-1<=x<=1$
$0$ altrove
Deriviamo una volta $f$ nel senso delle distribuzioni, risulta:
$f' = pisin(pix)rect(x/2) - delta(x+1) + delta(x-1)$
Deriviamo un'altra volta:
$f'' = pi^2 cos(pix)rect(x/2) - delta'(x+1) + delta'(x-1)$
Se ora ricordiamo che $f(x)=cos(pix)rect(x/2)$, risulta:
$f''(x)=pi^2f(x) - delta'(x+1) + delta'(x-1)$
Adesso basta trasformare entrambi i membri e poi...
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