Termine ennesimo di una successione
Ciao a tutti, ho qualche problema del calcolo del "termine ennesimo" di una successione definita per ricorrenza. Sono abituato a lavorare con successioni risolvibili attraverso un'equazione di secondo grado (solitamente), quindi solitamente la ricorsione utilizza la forma: $a_n = k \ a_{n-1} + j \ a_{n-2}$.
Tuttavia ora mi imbatto nel seguente esercizio:
Considera la successione così definita: $a_0 = 1$, \(\displaystyle a_{n+1} = \frac{1-a_n}{2} \). . Verificare che $a_{2n}$ è una successione decrescente. (Ometto le altre domande per non appesantire il post, in caso chiedo successivamente).
Devo necessariamente calcolare il termine $a_n$, ma non ho la minima idea di come possa fare. L'unico esempio che ho trovato sulla rete aveva una soluzione che consigliava di trovare una formula in maniera "intuitiva", scrivendo un po' di termini della successione e cercando un modo per esprimerli senza far uso di ricorsione. Ad esempio, in questo caso, posso calcolare facilemente:
$
a_0 = 1, \
a_1 = 0, \
a_2 = 1/2, \
a_3 = 1/4, \
a_4 = 3/8, \
a_5 = 5/16, \
....
$
l'unica considerazione che sono riuscito a fare è stata quella che il denominatore, per $n >= 1$, è uguale a $2^{n-1}$, ma non riesco a fare "assunzioni" sul numeratore... Forse non è la strada corretta da seguire, quindi vorrei un vostro consiglio su come procedere per il calcolo dell'elemento $a_n$.
Grazie in anticipo!
Tuttavia ora mi imbatto nel seguente esercizio:
Considera la successione così definita: $a_0 = 1$, \(\displaystyle a_{n+1} = \frac{1-a_n}{2} \). . Verificare che $a_{2n}$ è una successione decrescente. (Ometto le altre domande per non appesantire il post, in caso chiedo successivamente).
Devo necessariamente calcolare il termine $a_n$, ma non ho la minima idea di come possa fare. L'unico esempio che ho trovato sulla rete aveva una soluzione che consigliava di trovare una formula in maniera "intuitiva", scrivendo un po' di termini della successione e cercando un modo per esprimerli senza far uso di ricorsione. Ad esempio, in questo caso, posso calcolare facilemente:
$
a_0 = 1, \
a_1 = 0, \
a_2 = 1/2, \
a_3 = 1/4, \
a_4 = 3/8, \
a_5 = 5/16, \
....
$
l'unica considerazione che sono riuscito a fare è stata quella che il denominatore, per $n >= 1$, è uguale a $2^{n-1}$, ma non riesco a fare "assunzioni" sul numeratore... Forse non è la strada corretta da seguire, quindi vorrei un vostro consiglio su come procedere per il calcolo dell'elemento $a_n$.
Grazie in anticipo!
Risposte
una strada può essere l'induzione
$a_0 >a_2$
verifica che $a_(2n)> a_(2n+2) $ implica che $a_(2n+2)>a_(2n+4)$
$a_0 >a_2$
verifica che $a_(2n)> a_(2n+2) $ implica che $a_(2n+2)>a_(2n+4)$
Ma come imposto la verifica induttiva se non so a quanto corrisponde $a_{2n}$ ?
Il passo base è presto fatto: per $n=0$, $a_0 > a_2$ come si vede scrivendo i primi termini della successione. Ora dovrei dimostrare che $a_{2n+4} < a_{2n+2}$. Sfruttando la scrittura ricorsiva ottengo che:
$a_{2n+4} = (1-a_{n+2})/2 < (1-a_{n+1})/2 = a_{2n+2}$ da cui ricaviamo che $a_{n+2} > a_{n+1}$ .
Molto informalmente questa conclusione, per quanto banale sia, mi fa notare che, andando a sottrarre ad $1/2$ il termine $a_{2n+2}/2$ per ottenere il termine $a_{2n+4}$, sicuramente $a_{2n+4}$ sarà più piccolo del suo precedente, dunque la successione è decrescente. Ma questa conclusione mi sembra azzardata se non errata! Non riesco a trovare un procedimento formale come quello che si adotta con le successioni lineari omogenee di secondo grado...
Il passo base è presto fatto: per $n=0$, $a_0 > a_2$ come si vede scrivendo i primi termini della successione. Ora dovrei dimostrare che $a_{2n+4} < a_{2n+2}$. Sfruttando la scrittura ricorsiva ottengo che:
$a_{2n+4} = (1-a_{n+2})/2 < (1-a_{n+1})/2 = a_{2n+2}$ da cui ricaviamo che $a_{n+2} > a_{n+1}$ .
Molto informalmente questa conclusione, per quanto banale sia, mi fa notare che, andando a sottrarre ad $1/2$ il termine $a_{2n+2}/2$ per ottenere il termine $a_{2n+4}$, sicuramente $a_{2n+4}$ sarà più piccolo del suo precedente, dunque la successione è decrescente. Ma questa conclusione mi sembra azzardata se non errata! Non riesco a trovare un procedimento formale come quello che si adotta con le successioni lineari omogenee di secondo grado...
$a_(2n+4)=(1-a_(2n+3))/2$
$a_(2n+2)=(1-a_(2n+1))/2$
$a_(2n+2)-a_(2n+4)=(a_(2n+3)-a_(2n+1))/2=(a_(2n)-a_(2n+2))/4$
ecco fatto
$a_(2n+2)=(1-a_(2n+1))/2$
$a_(2n+2)-a_(2n+4)=(a_(2n+3)-a_(2n+1))/2=(a_(2n)-a_(2n+2))/4$
ecco fatto
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