Teoremino sugli insiemi
Ciao a tutti,
come saprete i corsi di analisi due sono iniziati, ed i primi dubbi cominciano a sorgere..e allora, cosa c'è di meglio che chiedere un consiglio agli amici del forum
In pratica dovrei dimostrare questo teoremino:
Un insieme è chiuso se e solo se il suo complementare è aperto
Io non so nemmeno da dove cominciare, ma penso che la colpa sia del fatto che non ho ben capito le definizioni di inseime aperto e chiuso. Cercando su internet ne ho trovate parecchie, ma non so se sono equivalenti, o magari solo delle definizioni derivate dalle originali..
Voi quali usate per comodità?
Grazie in anticipo, Lorenzo
come saprete i corsi di analisi due sono iniziati, ed i primi dubbi cominciano a sorgere..e allora, cosa c'è di meglio che chiedere un consiglio agli amici del forum
In pratica dovrei dimostrare questo teoremino:
Un insieme è chiuso se e solo se il suo complementare è aperto
Io non so nemmeno da dove cominciare, ma penso che la colpa sia del fatto che non ho ben capito le definizioni di inseime aperto e chiuso. Cercando su internet ne ho trovate parecchie, ma non so se sono equivalenti, o magari solo delle definizioni derivate dalle originali..
Voi quali usate per comodità?
Grazie in anticipo, Lorenzo
Risposte
come saprai per dimostrare un teorema è fondamentale sapere le ipotesi (a meno che tu sia un fisico )
quindi dì le definizioni che conosci e poi dimostralo a partire da quelle.
io ad esempio una volta definiti gli insiemi aperti ( $I$ si dice aperto se $AA x in I\ EE \epsilon\ t.c.\ B_\epsilon(x) sube I$ dove $B_\epsilon(x)$ è un intorno di $x$ di raggio $\epsilon$
poi i chiusi li definisco come complementari degli aperti, et-voilà !
tu evidentemente parti da altre definizioni, scoprile altrimenti la tua domanda non ha senso.
)quindi dì le definizioni che conosci e poi dimostralo a partire da quelle.
io ad esempio una volta definiti gli insiemi aperti ( $I$ si dice aperto se $AA x in I\ EE \epsilon\ t.c.\ B_\epsilon(x) sube I$ dove $B_\epsilon(x)$ è un intorno di $x$ di raggio $\epsilon$
poi i chiusi li definisco come complementari degli aperti, et-voilà !
tu evidentemente parti da altre definizioni, scoprile altrimenti la tua domanda non ha senso.
Io me lo spiego in termini casalinghi. 
Ad es. il confine Italia-Francia passa per la punta del M.Bianco.
A chi appartiene la punta del Bianco ?
La punta del monte Bianco sta in Italia o in Francia, non puo' stare in tutte e due le nazioni, ne' ha senso che sia escluso.
Se sta in Italia, l'Italia e' un insieme chiuso rispetto alla punta del Bianco e la Francia, nazione complementare per un tratto di confine e' insieme aperto rispetto alla punta del Bianco.
Ad es. il confine Italia-Francia passa per la punta del M.Bianco.
A chi appartiene la punta del Bianco ?
La punta del monte Bianco sta in Italia o in Francia, non puo' stare in tutte e due le nazioni, ne' ha senso che sia escluso.
Se sta in Italia, l'Italia e' un insieme chiuso rispetto alla punta del Bianco e la Francia, nazione complementare per un tratto di confine e' insieme aperto rispetto alla punta del Bianco.
"Quinzio":
Io me lo spiego in termini casalinghi.
Ad es. il confine Italia-Francia passa per la punta del M.Bianco.
A chi appartiene la punta del Bianco ?
La punta del monte Bianco sta in Italia o in Francia, non puo' stare in tutte e due le nazioni, ne' ha senso che sia escluso.
Se sta in Italia, l'Italia e' un insieme chiuso rispetto alla punta del Bianco e la Francia, nazione complementare per un tratto di confine e' insieme aperto rispetto alla punta del Bianco.
Questa tua idea può essere il punto partenza di una possibile quadro di definizioni:
Dato un insieme $A$ contenuto in $RR$ (per esempio) si può dividere $RR$ in tre pezzi disgiunti:
1) la la parte interna di $A$, indichiamola con $"int"(A)$, fatta dai punti $x$ di $RR$ per cui esiste un intorno $I_x$ tutto contenuto in $A$ - se chiamiamo punto interno ad $A$
un punto con la proprietà suddetta $"int"(A)$ è l'insieme dei punti interni ad $A$,
2) la la parte esterna di $A$, indichiamola con $"ext"(A)$, fatta dai punti $x$ di $RR$ per cui esiste un intorno $I_x$ tutto contenuto nel complementare di $A$ (cioè l'insieme dei punti interni al compementare di $A$),
3) quello che resta, detto frontiera di $A$ e indicato con $F(A)$. Si vede subito che $F(A)$ è l'insieme dei punti $x$ tali che per ogni intorno $I$ di $x$ $I$ interseca sia
$A$ che il complementare di $A$
Possiamo poi dire che un insieme è aperto se $A="int"(A)$ (cioè se tutti suoi punti sono interni) e che è chiuso se $A$ contiene la sua frontiera.
A questo punto il fatto che il complementare di un aperto è chiuso diventa un enunciato dimostrabile.
Grazie delle risposte, ma prutroppo io la dimostrazione devo farle in generale, non solo in $RR$
Stasera che ho più tempo proverò a postarne una che mi è venuta in mente con le definizioni del mio prof
Stasera che ho più tempo proverò a postarne una che mi è venuta in mente con le definizioni del mio prof
"anonymous_ed8f11":
Grazie delle risposte, ma prutroppo io la dimostrazione devo farle in generale, non solo in $RR$
Stasera che ho più tempo proverò a postarne una che mi è venuta in mente con le definizioni del mio prof
Per la verità le definizioni che ho indicato non dipendono da $RR$ (metti $X$ spazio topologico al posto di $RR$ e non cambia niente).
Va anche detto che le definizioni le hai chieste tu ...
io, per esempio, ho cercato di fornirti delle possibili definizioni che venissero incontro alle tue intuizioni sul Monte Bianco.Naturalmente per risolvere in via definitiva il tuo problema bisogna conoscere quelle che ti ha dato il prof....
Una definizione di insieme chiuso, nel tuo caso, potrebbe essere:
Definizione
-Dicesi insieme chiuso qualsiasi insieme rappresentabile come l'unione dell'insieme dei suoi punti interni e l'insieme dei suoi punti di frontiera.
Cosa significa ''punti interni''?
Definizione
-Se A è un insieme e x è un punto di A (appartiene ad A), si dice che x è interno ad A se esiste un intorno di x interamente contenuto in A (tutti gli elementi di questo intorno sono punti di A).
Cos'è la frontiera ?
Definizione
Sia E un insieme e sia X l'insieme ambiente. Si dice frontiera dell'insieme E l'insieme dei punti di X tali che qualsiasi intorno di essi abbia intersezione non vuota sia con E, sia con il complementare di E.
Non penso che il tuo professore abbia potuto darti altre definizioni di insieme chiuso. Anche perché è abbastanza evidente che l'unica possibile definizione che abbia potuto darti sia questa. Se ti avesse dato quella riportata dagli utenti sopra (Un insieme E è chiuso se il complementare è aperto) chiedere la dimostrazione di quel teorema sarebbe assurda (anche perché cadrebbe dal piedistallo di teorema).
A questo punto, premettendo che tu abbia (e devi averle, perché hai studiato Analisi 1!) chiara la definizione di punto aderente e quindi di punto isolato e di accumulazione, puoi procedere per dimostrare quella affermazione in vari modi.
Se non sai da come partire, utilizza il ''metodo della nonna'', ovvero vai per casi. Sapendo la definizione di un insieme chiuso C, già sai che tipo di punti può possedere C e sai che tipo di punti deve possedere il suo complementare affinché la proposizione sia vera.
Avrai notato, credo, che data quella definizione che ti ho dato di insieme chiuso, è necessario che la frontiera di E sia NON vuota. Altrimenti l'insieme dato avrebbe tutti i suoi punti interni.
A questo punto è facile, se non banale, dimostrare quel teorema. E' più facile con questa definizione che con l'altra che ti ha suggerito l'utente sopra.
Definizione
-Dicesi insieme chiuso qualsiasi insieme rappresentabile come l'unione dell'insieme dei suoi punti interni e l'insieme dei suoi punti di frontiera.
Cosa significa ''punti interni''?
Definizione
-Se A è un insieme e x è un punto di A (appartiene ad A), si dice che x è interno ad A se esiste un intorno di x interamente contenuto in A (tutti gli elementi di questo intorno sono punti di A).
Cos'è la frontiera ?
Definizione
Sia E un insieme e sia X l'insieme ambiente. Si dice frontiera dell'insieme E l'insieme dei punti di X tali che qualsiasi intorno di essi abbia intersezione non vuota sia con E, sia con il complementare di E.
Non penso che il tuo professore abbia potuto darti altre definizioni di insieme chiuso. Anche perché è abbastanza evidente che l'unica possibile definizione che abbia potuto darti sia questa. Se ti avesse dato quella riportata dagli utenti sopra (Un insieme E è chiuso se il complementare è aperto) chiedere la dimostrazione di quel teorema sarebbe assurda (anche perché cadrebbe dal piedistallo di teorema).
A questo punto, premettendo che tu abbia (e devi averle, perché hai studiato Analisi 1!) chiara la definizione di punto aderente e quindi di punto isolato e di accumulazione, puoi procedere per dimostrare quella affermazione in vari modi.
Se non sai da come partire, utilizza il ''metodo della nonna'', ovvero vai per casi. Sapendo la definizione di un insieme chiuso C, già sai che tipo di punti può possedere C e sai che tipo di punti deve possedere il suo complementare affinché la proposizione sia vera.
Avrai notato, credo, che data quella definizione che ti ho dato di insieme chiuso, è necessario che la frontiera di E sia NON vuota. Altrimenti l'insieme dato avrebbe tutti i suoi punti interni.
A questo punto è facile, se non banale, dimostrare quel teorema. E' più facile con questa definizione che con l'altra che ti ha suggerito l'utente sopra.
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