Teoremi sulle serie numeriche....

[kioccolatino90]

Salve a tutti mi servirebbe una mano su un teorema di serie a termini positivi, il quale io non so proprio da dove partire....

Allora parto dalla definizione di serie a termini positivi; si definisce serie a termini positivi $sum_{k=0}^oo a_k$ dove tutti gli $a_k>=0$...Il teorema che devo dimostrare è:
sia somma di $a_k$ una serie a termini positivi e sia $S_n$ la successione delle somme parziali; se la successione $S_n$ è limitata superiormente la serie converge altrimenti diverge a $+oo$...

DIM.
so che affinchè una serie sia convergente è che un termine $a_n$ della serie per $n->oo$ sia infinitesimo, ovvero: $lim_(n->oo)a_n=0$ questa è condizione necessaria ma non sufficiente;

allora se $lim_(n->oo)S_n$ esite finito e vale $S$ (cioè la serie stessa) possiamo dire che $S_n->S$ e lo stesso vale per un altro generico elemento $S_(n-1)->S$ se questo è vero allora:

il $lim_(n->oo) a_n=lim_(n->oo)(S_n-S_(n-1))=S-S=0$....Però poi non so continuare, questo lo dico con l'aiuto dei criteri di convergenza... come posso fare?

[kioccolatino90]

si si ora mi trovo!!! me lo avevi anche già detto...scusami....

Per ipotesi avevamo preso che $r_n$ è una successione monotona crescente ($sum_{k=1}^n a_k<=sum_{k=1}^(n+1) a_k=n+1$ che è non decrescente e non negativa)

essendo poi $t_n$ limitata dall'ipotesi ($0<=lim_(x->oo)t_n<+oo$)

e la condizione $0<=r_n<=t_n

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[salvozungri]

"domy90":si si ora mi trovo!!! me lo avevi anche già detto...scusami....

Per ipotesi avevamo preso che $r_n$ è una successione monotona crescente ($sum_{k=1}^n a_k<=sum_{k=1}^(n+1) a_k=n+1$ (typos??) che è non decrescente e non negativa)

essendo poi $t_n$ limitata dall'ipotesi (0<=lim_(x->oo)t_n<+oo)

e la condizione $0<=r_n<=t_n

E' giusto a meno di typos. Dobbiamo concludere ora.

[kioccolatino90]

typos perchè la successione $r_n$ monotona ha sempre limite, in particolare se $r_n$ è crescente si ha che il $lim_(n->+oo)r_n= text{sup} (r_n), AAn in NN$..