Teoremi sulle serie numeriche....
Salve a tutti mi servirebbe una mano su un teorema di serie a termini positivi, il quale io non so proprio da dove partire....
Allora parto dalla definizione di serie a termini positivi; si definisce serie a termini positivi $sum_{k=0}^oo a_k$ dove tutti gli $a_k>=0$...Il teorema che devo dimostrare è:
sia somma di $a_k$ una serie a termini positivi e sia $S_n$ la successione delle somme parziali; se la successione $S_n$ è limitata superiormente la serie converge altrimenti diverge a $+oo$...
DIM.
so che affinchè una serie sia convergente è che un termine $a_n$ della serie per $n->oo$ sia infinitesimo, ovvero: $lim_(n->oo)a_n=0$ questa è condizione necessaria ma non sufficiente;
allora se $lim_(n->oo)S_n$ esite finito e vale $S$ (cioè la serie stessa) possiamo dire che $S_n->S$ e lo stesso vale per un altro generico elemento $S_(n-1)->S$ se questo è vero allora:
il $lim_(n->oo) a_n=lim_(n->oo)(S_n-S_(n-1))=S-S=0$....Però poi non so continuare, questo lo dico con l'aiuto dei criteri di convergenza... come posso fare?
Allora parto dalla definizione di serie a termini positivi; si definisce serie a termini positivi $sum_{k=0}^oo a_k$ dove tutti gli $a_k>=0$...Il teorema che devo dimostrare è:
sia somma di $a_k$ una serie a termini positivi e sia $S_n$ la successione delle somme parziali; se la successione $S_n$ è limitata superiormente la serie converge altrimenti diverge a $+oo$...
DIM.
so che affinchè una serie sia convergente è che un termine $a_n$ della serie per $n->oo$ sia infinitesimo, ovvero: $lim_(n->oo)a_n=0$ questa è condizione necessaria ma non sufficiente;
allora se $lim_(n->oo)S_n$ esite finito e vale $S$ (cioè la serie stessa) possiamo dire che $S_n->S$ e lo stesso vale per un altro generico elemento $S_(n-1)->S$ se questo è vero allora:
il $lim_(n->oo) a_n=lim_(n->oo)(S_n-S_(n-1))=S-S=0$....Però poi non so continuare, questo lo dico con l'aiuto dei criteri di convergenza... come posso fare?
Risposte
Rispondi a questa domanda: cosa vuol dire che la successione delle somme parziali è limitata superiormente? E se ciò accade, cosa puoi dire riguardo il valore del [tex]$\lim_{x\to+\infty} S_n&[/tex]? (tieni presente che, essendo gli [tex]$a_k\geq 0$[/tex] allora avrai pure che [tex]$S_n\geq 0,\ \forall\ n\in\mathbb{N}$[/tex]
"ciampax":
Rispondi a questa domanda: cosa vuol dire che la successione delle somme parziali è limitata superiormente?
che tende a un valore finito cioè se non sbaglio al valore massimo, all'estremo superiore....
"ciampax":
E se ciò accade, cosa puoi dire riguardo il valore del [tex]$\lim_{x\to+\infty} S_n&[/tex]? (tieni presente che, essendo gli [tex]$a_k\geq 0$[/tex] allora avrai pure che [tex]$S_n\geq 0,\ \forall\ n\in\mathbb{N}$[/tex]
e di conseguenza anche il limite assume lo stesso valore....????
Ehm, no. Dire che [tex]$\{a_n\}&[/tex] è limitata superiormente significa che esiste [tex]$M>0$[/tex] tale che [tex]$a_n
Il fatto che il limite coincida con l'estremo superiore accade quando la successione è monotona crescente. Ciononostante, se tutti i valori della successione sono compresi tra zero ed [tex]$M$[/tex] allora il valore del limite...
Il fatto che il limite coincida con l'estremo superiore accade quando la successione è monotona crescente. Ciononostante, se tutti i valori della successione sono compresi tra zero ed [tex]$M$[/tex] allora il valore del limite...
"ciampax":
[...] Ciononostante, se tutti i valori della successione sono compresi tra zero ed [tex]$M$[/tex] allora il valore del limite...
Scusami ciampax se mi intrometto, ma sotto queste condizioni, nulla si può dire sul limite. Potrei costruire una successione che vive in $[0, M]$, ma che non ammette limite. Io credo sia necessario sfruttare il fatto che, poichè $a_n\ge 0$, la successione delle somme parziali $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}:=(\sum_{k=1}^n a_k)_{n\in \mathbb{N}}$ è monotona non decrescente. Se quest'ultima è limitata allora ammette limite finito ed esso coincide con l'estremo superiore.
Volevo farci arrivare domy a questa conclusione, visto che era partito/a con l'idea che necessariamente ci fosse un limite, senza spiegarne un motivo... vabbé, la prossima volta taccio!
Perdono!! Dovevo farmi gli affaracci miei! Scusami ciampax 
Non ti preoccupare.... capita. Anche io a volte ho detto più di quel che dovevo in certe discussioni.
ok ho capito, tranquillo Mathematico ora ci sono arrivato lo stesso......Una conferma: se il limite della successione delle somme parziali non è limitata allora si ha che la serie diverge a $+oo$...giusto?
Il tutto sta nell'appoggiarsi al teorema sul limite di successioni monotone. Se $(S_n)_{n\in \mathbb{N}}$ è una successione monotona non decrescente allora ammette limite, quest'ultimo è finito se e solo se $(S_n)_{n\in \mathbb{N}}$ è limitata. Se invece non è limitata allora diverge positivamente.
ok grazie!!!!!!!!!!!!! ho capito tutto!!!!!
Poi ho un altro teorema da dimostrare però sul criterio del confronto... il teorema dice:
Siano $sum_{k}a_k$ e $sum_{k}b_k$ due serie e supponiamo che per ogni $k$, valga la catena di disuguaglianza:
$0<=a_k<=b_k$
se la serie di $b_k$ converge, converge anche la serie di $a_k$ e viceversa se la seie degli $a_k$ diverge, divergerà anche la seie di $b_k$...
allora pongo:
$r_n=sum_{k}a_k$ e $t_n=sum_{k}b_k$
ovviamente si ha:
$0<=r_n<=t_n$
dalla condizione necessaria per la convergenza sappiamo che affinchè una successione sia convergente si deve verificare che essa è limitata:
quindi $lim_(n->oo)b_n=0$ perciò è convegente e lo stesso vale per la successione $r_n$...... però ora non so come andare avanti....
Siano $sum_{k}a_k$ e $sum_{k}b_k$ due serie e supponiamo che per ogni $k$, valga la catena di disuguaglianza:
$0<=a_k<=b_k$
se la serie di $b_k$ converge, converge anche la serie di $a_k$ e viceversa se la seie degli $a_k$ diverge, divergerà anche la seie di $b_k$...
allora pongo:
$r_n=sum_{k}a_k$ e $t_n=sum_{k}b_k$
ovviamente si ha:
$0<=r_n<=t_n$
dalla condizione necessaria per la convergenza sappiamo che affinchè una successione sia convergente si deve verificare che essa è limitata:
quindi $lim_(n->oo)b_n=0$ perciò è convegente e lo stesso vale per la successione $r_n$...... però ora non so come andare avanti....
Da $0<=r_n<=t_n$ in poi non mi è chiaro cosa intendi, o meglio, capisco dove tu voglia andare a parare, ma non è espresso nel migliore dei modi.
Io farei così, per ipotesi $(t_n)_n$ è una successione monotona crescente($t_n=\sum_{k=1}^n b_k<=\sum_{k=1}^{n+1} b_k =t_{n+1}$) convergente ($0<=\lim_{n\to\infty}t_n=\sum_{k=1}^\infty b_k<+\infty$) ciò implica che $(t_n)_n$ è limitata. La limitatezza di $(t_n)_n$ e la condizione $0<=r_n<=t_n$ assicurano la limitatezza della successione $(r_n)_n$.... Ora tocca a te: Perché la successione $(r_n)_n$ converge?
Io farei così, per ipotesi $(t_n)_n$ è una successione monotona crescente($t_n=\sum_{k=1}^n b_k<=\sum_{k=1}^{n+1} b_k =t_{n+1}$) convergente ($0<=\lim_{n\to\infty}t_n=\sum_{k=1}^\infty b_k<+\infty$) ciò implica che $(t_n)_n$ è limitata. La limitatezza di $(t_n)_n$ e la condizione $0<=r_n<=t_n$ assicurano la limitatezza della successione $(r_n)_n$.... Ora tocca a te: Perché la successione $(r_n)_n$ converge?
allora poichè $(t_n)_n$ è limitata, posso dire che $0<=r_n<=0$ perciò se non erro deve per forza essere limitata anch'essa....
"domy90":
allora poichè $(t_n)_n$ è limitata, posso dire che $0<=r_n<=0$ (typo?) perciò se non erro deve per forza essere limitata anch'essa....
Sì, la successione $(r_n)_n$ è limitata (spiega meglio il perché), inoltre è nonnegativa (perché?) e non decrescente (perché?), di conseguenza per un teorema (quale?) si ha la tesi
. Rispondi bene alle domande e hai finito
allora facciamo un perchè alla volta... allora la successione $r_n$ è limitata per gli stessi motivi della successione $t_n$ se prendiamo, per ipotesi, la successione $r_n$ come una successione monotona crescente:
$r_n=sum_{k=1}^na_k<=sum_{k=1}^(n+1)=r_n+1$ e convergente $0<=lim_(n->oo)r_n=sum_{k=1}^oo a_k<+oo rArr limitata$... Diciamo che non ho fatto altro che copiare (però ho capito i passaggi)...
$r_n=sum_{k=1}^na_k<=sum_{k=1}^(n+1)=r_n+1$ e convergente $0<=lim_(n->oo)r_n=sum_{k=1}^oo a_k<+oo rArr limitata$... Diciamo che non ho fatto altro che copiare (però ho capito i passaggi)...
"domy90":
$r_n=sum_{k=1}^na_k<=sum_{k=1}^(n+1)=r_{n+1}$ e convergente $0<=lim_(n->oo)r_n=sum_{k=1}^oo a_k<+oo rArr limitata$...
Attento, la successione $(r_n)_n$ è limitata perchè è limitata la successione $(t_n)_n$. Infatti, dalla ipotesi che $0<=\lim_{n\to \infty} t_n<+\infty$ segue che $(t_n)_n$ è limitata, cioè esiste una costante reale positiva $M\in \mathbb{R}^+$, tale che $t_n
[Edit]: Se ti va, potresti scrivere la dimostrazione per bene, mettendo in evidenza quale ipotesi sfrutti. Ti assicuro che è un buon allenamento
"Mathematico":
[Edit]: Se ti va, potresti scrivere la dimostrazione per bene, mettendo in evidenza quale ipotesi sfrutti. Ti assicuro che è un buon allenamento
intendi la dimostrazione per $r_n$ oppure proprio il teorema del confronto?
Volevo dire di riscrivere sui tuoi appunti la dimostrazione mettendo in evidenza dove vengono utilizzate le ipotesi (e possibilmente senza riguardare questa discussione 
), se hai capito tutto, saprai ricostruirla velocemente, se non ci riesci, vuol dire che qualcosa ti è sfuggito.
Ora manca la dimostrazione della seconda parte del teorema del confronto, che mi sai dire in merito?
), se hai capito tutto, saprai ricostruirla velocemente, se non ci riesci, vuol dire che qualcosa ti è sfuggito. Ora manca la dimostrazione della seconda parte del teorema del confronto, che mi sai dire in merito?
il fatto è che mi sono bloccatto non riesco a capire qual'è il teorema che poi mi restituisce la tesi...Può mai essere il Teorema di Mac Laurin??
"domy90":
il fatto è che mi sono bloccatto non riesco a capire qual'è il teorema che poi mi restituisce la tesi...Può mai essere il Teorema di Mac Laurin??
No, non mi riferivo al teorema di Mac Laurin... Mi riferivo a questo teorema. La successione $(r_n)_n$ soddisfa le ipotesi (è monotona crescente, ed è limitata pertanto ammette limite finito). Ti trovi ora?
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