Teoremi di Green, Stokes e Gauss
Ciao a tutti! Spero di essere nella sezione giusta.
Sto preparando l'esame di Analisi 2 ma sono bloccata ai famosi Teoremi di Green, Gauss e Stokes
Quello che continuo a non capire sono i vari significati dei diversi integrali.
Da quel che ho capito (ma correggetemi pure) Green dice che l'integrale curvilineo lungo una curva chiusa è uguale all'integrale doppio dell'area racchiusa.
Stokes dovrebbe praticamente essere la versione tridimensionale del T. di Green (?) Ma che significato geometrico assume il rotore?
Infine non riesco veramente a capire la differenza tra Gauss e Stokes (nel tridimensionale) e Gauss e Green (nel bidimensionale).
Se per favore qualcuno mi spiega le varie differenze in termini semplici e magari con facili esempi applicativi
ho provato a studiare dai libri ma sono molto articolati e usano giustamente tecnicismi che però io fatico a comprendere
Grazie in anticipo a chi avrà la pazienza nel rispondere!
Sto preparando l'esame di Analisi 2 ma sono bloccata ai famosi Teoremi di Green, Gauss e Stokes
Quello che continuo a non capire sono i vari significati dei diversi integrali.
Da quel che ho capito (ma correggetemi pure) Green dice che l'integrale curvilineo lungo una curva chiusa è uguale all'integrale doppio dell'area racchiusa.
Stokes dovrebbe praticamente essere la versione tridimensionale del T. di Green (?) Ma che significato geometrico assume il rotore?
Infine non riesco veramente a capire la differenza tra Gauss e Stokes (nel tridimensionale) e Gauss e Green (nel bidimensionale).
Se per favore qualcuno mi spiega le varie differenze in termini semplici e magari con facili esempi applicativi
ho provato a studiare dai libri ma sono molto articolati e usano giustamente tecnicismi che però io fatico a comprendere Grazie in anticipo a chi avrà la pazienza nel rispondere!
Risposte
I tecnicismi che fatichi a comprendere potrebbero essere necessari a capire qual è il significato del teorema di Stokes, non credi? 
Idealmente, c'è un solo risultato in tal senso: il teorema di Stokes.
Il senso geometrico del teorema di Stokes, moralmente, è che esiste una dualità tra due operatori lineari (spero che nessuno obietti al fatto che gli operatori lineari pertengono alla geometria): da una parte il rotore, \(\nabla\times\_\ \), definito dai campi vettoriali di \(\mathbb R^3\) in sé stessi, e dall'altra l'operazione che prende una varietà \(M\) e ne considera il bordo \(\partial M\); poco formalmente, ma in maniera abbastanza intuitiva, l'operazione \(\partial\) è "lineare" nel senso che il bordo di un'unione disgiunta è l'unione dei bordi, e la funzione che manda la coppia \((M,F)\) in \(\langle M,F\rangle=\int_M F\cdot d\mu_M\) è "bilineare" nel senso che l'integrale è additivo sulle componenti connesse disgiunte di \(M\), e (notoriamente) lineare in \(F\). Ora, affinché \(\partial\) e \(\nabla\times\_\ \) siano operatori aggiunti uno all'altro è necessario che
\[
\langle \partial M, F \rangle = \langle M,\nabla\times F \rangle
\] Il teorema di Stokes coincide con questa affermazione.
Nel caso delle $p$-forme differenziali -un linguaggio molto più naturale ed equivalente a quello dei campi vettoriali in dimensione $3$- puoi trovare una dimostrazione del teorema di Stokes diversa da quella che propinano ai fisici nel libro di Abate e Tovena, al Teorema 4.5.12. In quel contesto, l'operazione di derivazione esterna di una forma, definita dal Teorema 4.4.1, definisce una applicazione che per $p=0$ coincide con il differenziale totale, \(f\mapsto \sum \frac{\partial f}{\partial x_j}\text{d}x^j\).
E' un ottimo esercizio tentare di rendere esplicita la connessione tra forme e campi vettoriali in dimensione $p=0,...,3$: quello che si ottiene è una sequenza
\[
\begin{CD}
0 @>>> C^\infty(X,\mathbb R) @>J>> C^\infty(X,\mathbb R^3) @>\nabla\times\_>> C^\infty(X,\mathbb R^3) @>\nabla\cdot\_>> C^\infty(X,\mathbb R) @>>> 0
\end{CD}
\] che è un complesso (la composizione di due mappe contigue è costantemente zero).
Il "teorema di Gauss-Green" ora è un caso particolare di questo risultato: se $D\subseteq \mathbb R^2$ è un dominio (compatto) di bordo $\partial D = S$, allora $S$ ammette una parametrizzazione $\gamma : [0,1]\to S$ di tale bordo; a questo punto, ogni coppia di funzioni (almeno $C^1$ a tratti) $f,g$ definisce un campo vettoriale $F = (f,g)$ (la forma associata è $\omega = f\text{d}x+g\text{d}y$) tale per cui
\[
\int_\gamma f\text{d}x+g\text{d}y = \iint_D \left(\frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}\right)\text{d}x\text{d}y
\]
Idealmente, c'è un solo risultato in tal senso: il teorema di Stokes.
Il senso geometrico del teorema di Stokes, moralmente, è che esiste una dualità tra due operatori lineari (spero che nessuno obietti al fatto che gli operatori lineari pertengono alla geometria): da una parte il rotore, \(\nabla\times\_\ \), definito dai campi vettoriali di \(\mathbb R^3\) in sé stessi, e dall'altra l'operazione che prende una varietà \(M\) e ne considera il bordo \(\partial M\); poco formalmente, ma in maniera abbastanza intuitiva, l'operazione \(\partial\) è "lineare" nel senso che il bordo di un'unione disgiunta è l'unione dei bordi, e la funzione che manda la coppia \((M,F)\) in \(\langle M,F\rangle=\int_M F\cdot d\mu_M\) è "bilineare" nel senso che l'integrale è additivo sulle componenti connesse disgiunte di \(M\), e (notoriamente) lineare in \(F\). Ora, affinché \(\partial\) e \(\nabla\times\_\ \) siano operatori aggiunti uno all'altro è necessario che
\[
\langle \partial M, F \rangle = \langle M,\nabla\times F \rangle
\] Il teorema di Stokes coincide con questa affermazione.
Nel caso delle $p$-forme differenziali -un linguaggio molto più naturale ed equivalente a quello dei campi vettoriali in dimensione $3$- puoi trovare una dimostrazione del teorema di Stokes diversa da quella che propinano ai fisici nel libro di Abate e Tovena, al Teorema 4.5.12. In quel contesto, l'operazione di derivazione esterna di una forma, definita dal Teorema 4.4.1, definisce una applicazione che per $p=0$ coincide con il differenziale totale, \(f\mapsto \sum \frac{\partial f}{\partial x_j}\text{d}x^j\).
E' un ottimo esercizio tentare di rendere esplicita la connessione tra forme e campi vettoriali in dimensione $p=0,...,3$: quello che si ottiene è una sequenza
\[
\begin{CD}
0 @>>> C^\infty(X,\mathbb R) @>J>> C^\infty(X,\mathbb R^3) @>\nabla\times\_>> C^\infty(X,\mathbb R^3) @>\nabla\cdot\_>> C^\infty(X,\mathbb R) @>>> 0
\end{CD}
\] che è un complesso (la composizione di due mappe contigue è costantemente zero).
Il "teorema di Gauss-Green" ora è un caso particolare di questo risultato: se $D\subseteq \mathbb R^2$ è un dominio (compatto) di bordo $\partial D = S$, allora $S$ ammette una parametrizzazione $\gamma : [0,1]\to S$ di tale bordo; a questo punto, ogni coppia di funzioni (almeno $C^1$ a tratti) $f,g$ definisce un campo vettoriale $F = (f,g)$ (la forma associata è $\omega = f\text{d}x+g\text{d}y$) tale per cui
\[
\int_\gamma f\text{d}x+g\text{d}y = \iint_D \left(\frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}\right)\text{d}x\text{d}y
\]
Prima di cimentarsi con quello che dice KB, io consiglio di dare una occhiata alle "dimostrazioni che propinano ai fisici", per esempio su questo bel libretto:
https://archive.org/details/DivGradCurl ... cheyNorton
("Div, Grad, Curl and all of that: an informal text on vector calculus", di Schey)
che è onesto nel dire che manca di rigore, ma contiene delle idee geometricamente facili da capire e che sono sufficienti per l'analisi. Se poi ti interesserà la geometria algebrica, buttati a capofitto sul discorso di killing_buddha.
https://archive.org/details/DivGradCurl ... cheyNorton
("Div, Grad, Curl and all of that: an informal text on vector calculus", di Schey)
che è onesto nel dire che manca di rigore, ma contiene delle idee geometricamente facili da capire e che sono sufficienti per l'analisi. Se poi ti interesserà la geometria algebrica, buttati a capofitto sul discorso di killing_buddha.
Più precisamente, l'unica cosa che serve per l'analisi è la "formula di integrazione per parti":
https://math.stackexchange.com/a/2541935/8157
Tutte le formule del calcolo vettoriale sono equivalenti a questa. E questa, in fondo, non è che il teorema fondamentale del calcolo integrale con un po' di abbellettamenti: frontiere, versori normali.
https://math.stackexchange.com/a/2541935/8157
Tutte le formule del calcolo vettoriale sono equivalenti a questa. E questa, in fondo, non è che il teorema fondamentale del calcolo integrale con un po' di abbellettamenti: frontiere, versori normali.
@KB
Ma allora lo vedi che un po’ analista lo sei anche
Ma allora lo vedi che un po’ analista lo sei anche
"killing_buddha":
I tecnicismi che fatichi a comprendere potrebbero essere necessari a capire qual è il significato del teorema di Stokes, non credi?
Idealmente, c'è un solo risultato in tal senso: il teorema di Stokes.
Il senso geometrico del teorema di Stokes, moralmente, è che esiste una dualità tra due operatori lineari (spero che nessuno obietti al fatto che gli operatori lineari pertengono alla geometria): da una parte il rotore, \(\nabla\times\_\ \), definito dai campi vettoriali di \(\mathbb R^3\) in sé stessi, e dall'altra l'operazione che prende una varietà \(M\) e ne considera il bordo \(\partial M\); poco formalmente, ma in maniera abbastanza intuitiva, l'operazione \(\partial\) è "lineare" nel senso che il bordo di un'unione disgiunta è l'unione dei bordi, e la funzione che manda la coppia \((M,F)\) in \(\langle M,F\rangle=\int_M F\cdot d\mu_M\) è "bilineare" nel senso che l'integrale è additivo sulle componenti connesse disgiunte di \(M\), e (notoriamente) lineare in \(F\). Ora, affinché \(\partial\) e \(\nabla\times\_\ \) siano operatori aggiunti uno all'altro è necessario che
\[
\langle \partial M, F \rangle = \langle M,\nabla\times F \rangle
\] Il teorema di Stokes coincide con questa affermazione.
Nel caso delle $p$-forme differenziali -un linguaggio molto più naturale ed equivalente a quello dei campi vettoriali in dimensione $3$- puoi trovare una dimostrazione del teorema di Stokes diversa da quella che propinano ai fisici nel libro di Abate e Tovena, al Teorema 4.5.12. In quel contesto, l'operazione di derivazione esterna di una forma, definita dal Teorema 4.4.1, definisce una applicazione che per $p=0$ coincide con il differenziale totale, \(f\mapsto \sum \frac{\partial f}{\partial x_j}\text{d}x^j\).
E' un ottimo esercizio tentare di rendere esplicita la connessione tra forme e campi vettoriali in dimensione $p=0,...,3$: quello che si ottiene è una sequenza
\[
\begin{CD}
0 @>>> C^\infty(X,\mathbb R) @>J>> C^\infty(X,\mathbb R^3) @>\nabla\times\_>> C^\infty(X,\mathbb R^3) @>\nabla\cdot\_>> C^\infty(X,\mathbb R) @>>> 0
\end{CD}
\] che è un complesso (la composizione di due mappe contigue è costantemente zero).
Il "teorema di Gauss-Green" ora è un caso particolare di questo risultato: se $D\subseteq \mathbb R^2$ è un dominio (compatto) di bordo $\partial D = S$, allora $S$ ammette una parametrizzazione $\gamma : [0,1]\to S$ di tale bordo; a questo punto, ogni coppia di funzioni (almeno $C^1$ a tratti) $f,g$ definisce un campo vettoriale $F = (f,g)$ (la forma associata è $\omega = f\text{d}x+g\text{d}y$) tale per cui
\[
\int_\gamma f\text{d}x+g\text{d}y = \iint_D \left(\frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}\right)\text{d}x\text{d}y
\]
Molto, molto bello.
"anto_zoolander":
@KB
Ma allora lo vedi che un po’ analista lo sei anche
https://www.youtube.com/watch?v=86XzSpY4Uss
"lockheed":
Ciao a tutti! Spero di essere nella sezione giusta.
Sto preparando l'esame di Analisi 2 ma sono bloccata ai famosi Teoremi di Green, Gauss e Stokes
Quello che continuo a non capire sono i vari significati dei diversi integrali.
https://www.youtube.com/playlist?list=P ... 6-rnuy0Ry7
Credimi, è davvero bravo. Se capisci l'inglese vale la pena ascoltarlo. Ogni lezione è terribilmente dettagliata...e lunga ma tempo ben speso.
I video che ti interessano immagino siano gli ultimi due
[/quote]
https://www.youtube.com/playlist?list=P ... 6-rnuy0Ry7
Credimi, è davvero bravo. Se capisci l'inglese vale la pena ascoltarlo. Ogni lezione è terribilmente dettagliata...e lunga ma tempo ben speso.
I video che ti interessano immagino siano gli ultimi due[/quote]
Grazie mille! Le lezioni sono fantastiche!
https://www.youtube.com/playlist?list=P ... 6-rnuy0Ry7
Credimi, è davvero bravo. Se capisci l'inglese vale la pena ascoltarlo. Ogni lezione è terribilmente dettagliata...e lunga ma tempo ben speso.
I video che ti interessano immagino siano gli ultimi due[/quote]
Grazie mille! Le lezioni sono fantastiche!
"lockheed":
Grazie mille! Le lezioni sono fantastiche!
Prego ma è merito suo.
Non scordarti di mettere un like e commentare.
La gente vuole le formulette e video veloci...è l'unica spiegazione del perchè non sia così popolare.
Invece io stesso ammetto che il modo in cui costruisce le lezioni e come guida passo passo gli studenti ad una comprensione totale dell'argomento è sbalorditiva...lenta ma da il giusto tempo di ragionare e prevedere cosa stia per dire e fare, che è quello che conta.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo