Teorema valori intermedi

[matematicamenteparlando]

$ f (x) = x^3/4 + x + sqrt(x) $Salve a tutti sto studiando questo teorema ma l'ho capito a un 50% e non riesco ad applicarlo al seguente esercizio:

$f (x) = x^3/4 + x + sqrt(x)$. Determinare $f([0, 4])$.

Mi potreste aiutare?

Grazie mille a tutti per la disponibilità

[vict85]

È corretto ma non te lo assicura il teorema dei valori intermedi. Quindi da cosa lo dedicò?

[matematicamenteparlando]

quindi in sostanza il teorema dei valori intermedi mi assicura solo che se una funzione è continua in un intervallo allora essa prenderà tutti i valori di quell'intervallo.

E cosi?

[gio73]

"matematicamenteparlando":quindi in sostanza il teorema dei valori intermedi mi assicura solo che se una funzione è continua in un intervallo allora essa prenderà tutti i valori di quell'intervallo.

L'intervallo di cui parli è sempre lo stesso?

[matematicamenteparlando]

si

[gio73]

Perdonami se insisto,
tu stai dicendo che ad esempio nel nostro caso

"matematicamenteparlando":
$f (x) = x^3/4 + x + sqrt(x)$. Determinare $f([0, 4])$.

la nostra funzione $f(x)$ assumerà tutti i valori compresi nell'inervallo $[0;4]$ e non nell'intervallo $[0;22]$?
Sono due intervalli diversi, giusto?

[matematicamenteparlando]

No scusa sto andando in confusione,il teorema dei valori intermedi garantisce che la funzione assumerà tutti i valori nell'intervallo $[0;22]$ ?

Non riesco a capire con precisione cosa afferma il teorema

[vict85]

Ti faccio degli esempi. In ognuno uso il teorema dei valori intermedi.

\(\displaystyle f = 3x + 4 \) allora \(\displaystyle f\bigl([0,3]\bigr)\supseteq [f(0), f(3)] = [4, 13] \)

\(\displaystyle f = e^x - e^{-x} \) allora \(\displaystyle f\bigl([-1,1]\bigr)\supseteq [f(-1), f(1)] = \biggl[\frac{1 - e^2}{e}, \frac{e^2-1}{e}\biggr] \)

\(\displaystyle f = \sin^2 x + \cos x \) allora \(\displaystyle f\bigl([-\pi, 45\pi ]\bigr) \supseteq \bigl[f(-\pi), f(45\pi)\bigr] = [-1, -1] = \{-1\} \)

e si può proseguire. Si noti che nell'ultimo caso la funzione non è costante!

[matematicamenteparlando]

Scusami dove si vede l'uso del teorema?

Non ho ancora ben capito cosa afferma quindi non riesco a notarlo

[vict85]

È nel \(\supseteq\)

[matematicamenteparlando]

Scusami vict85 ma buio totale

[vict85]

Che hai capito di quello che abbiamo detto in queste 4 pagine o dalla lettura del semplice testo del teorema?

Testo del teorema:

"wikipedia":Sia \(f\colon [a,b]\to \mathbb{R} \) una funzione continua. Sia \(f(a)Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007[/nota]

Io avrei messo \(\le\) al posto di \(<\) ma il principio è quello.