Teorema valori intermedi
$ f (x) = x^3/4 + x + sqrt(x) $Salve a tutti sto studiando questo teorema ma l'ho capito a un 50% e non riesco ad applicarlo al seguente esercizio:
$f (x) = x^3/4 + x + sqrt(x)$. Determinare $f([0, 4])$.
Mi potreste aiutare?
Grazie mille a tutti per la disponibilità
$f (x) = x^3/4 + x + sqrt(x)$. Determinare $f([0, 4])$.
Mi potreste aiutare?
Grazie mille a tutti per la disponibilità
Risposte
"matematicamenteparlando":
Mi potreste aiutare?
Certo!
Ma andiamo con ordine.
- Cosa dice il teorema dei valori intermedi (anche in parole povere)?
- Alla luce di questo, cosa faresti?
- Come ti potrebbe aiutare?
(Le ultime due sono interscambiabili e mi sa che sono anche la stessa cosa).
Il teorema dei valori intermedi non ti fornisce $f([0,4])$ ma un intervallo in esso contenuto. Perché non riporti il testo del teorema e identifichi ogni elemento del teorema con il corrispettivo elemento del problema.
Per trovare $f([0,4])$ avrai bisogno di qualcosa che ti fornisca un massimo e un minimo globale. Ti viene in mente qualcosa?
Per trovare $f([0,4])$ avrai bisogno di qualcosa che ti fornisca un massimo e un minimo globale. Ti viene in mente qualcosa?
Ciao, ho dato un'occhiata a wiki, mi sembra di capire che si voglia determinare quale sia l'intervallo su cui può variare l'immagine della nostra funzione (la y) quando la x varia tra 0 e 4. Ho capito bene?
Alle ultime due domande che avevo fatto hanno risposto gio73 e vict85.
Anch'io ho capito che vuole calcolare $f([0,4])$ e ricordo che il teorema dei valori intermedi, comunque, parla di intervallo chiuso e limitato come dominio di $f$ quindi va bene... no?
Anch'io ho capito che vuole calcolare $f([0,4])$ e ricordo che il teorema dei valori intermedi, comunque, parla di intervallo chiuso e limitato come dominio di $f$ quindi va bene... no?
"Zero87":
Alle ultime due domande che avevo fatto hanno risposto gio73 e vict85.
Anch'io ho capito che vuole calcolare $f([0,4])$ e ricordo che il teorema dei valori intermedi, comunque, parla di intervallo chiuso e limitato come dominio di $f$ quindi va bene... no?
Si ma ti dice solo che un particolare intervallo, definito usando i valori agli estremi, è contenuto in quell'insieme. Per determinare l'intero intervallo chiuso devi assicurarti che non vi siano elementi al di fuori di quell'intervallo, ma guardando come è fatta \(f\) dovrebbe trovare il modo.
"vict85":
Si ma ti dice solo che un particolare intervallo, definito usando i valori agli estremi, è contenuto in quell'insieme. Per determinare l'intero intervallo chiuso devi assicurarti che non vi siano elementi al di fuori di quell'intervallo, ma guardando come è fatta \(f\) dovrebbe trovare il modo.
Uhm, fosse stiamo dicendo la stessa cosa oppure ci stiamo fraintendendo a vicenda.
Come teorema dei valori intermedi intendo "in un intervallo $f$ assume tutti i valori tra il massimo e il minimo" ma ricordo di un secondo teorema dei valori intermedi (o il secondo era quello prima?) "in un intervallo, $f$ assume tutti i valori tra $f(a)$ e $f(b)$"...
Intendendo il primo dei 2 l'esercizio è praticamente (quasi) fatto.
EDIT
Vedendo le risposte sotto a questo post, preciso che sono stato frettoloso io e chiedo venia. Per arrivare direttamente al punto - e vedere cosa intendesse vict85 - avevo dato per scontato $f$ definita in $[a,b]$ e continua su $[a,b]$.
"Zero87":
Come teorema dei valori intermedi intendo "in un intervallo $f$ assume tutti i valori tra il massimo e il minimo"
Meglio dire tra estremo inferiore e superiore se non si specifica che l'intervallo è chiuso, oppure specificare quest'ultima condizione, comunque il teorema è quello; e come caso particolare contiene:
"Zero87":
"in un intervallo, $f$ assume tutti i valori tra $f(a)$ e $f(b)$"...
Se si aggiungono le ipotesi di chiusura dell'intervallo e di monotonia della funzione
e che la funzione debba essere continua no?
"Gi8":
e che la funzione debba essere continua no?
Certamente, l'ipotesi di continuità deve valere per entrambe le formulazioni. Grazie!
Scusate ma sto entrando nel pallone xD.
Allora il teorema a parole dice:
"il teorema assicura che l'immagine di un intervallo contenga tutti i valori compresi tra le immagini degli estremi dell'intervallo"(presa da wikipedia)
L'ipotesi è che la funzione debba essere continua.
Qui ho qualche problema di comprensione
Allora il teorema a parole dice:
"il teorema assicura che l'immagine di un intervallo contenga tutti i valori compresi tra le immagini degli estremi dell'intervallo"(presa da wikipedia)
L'ipotesi è che la funzione debba essere continua.
Qui ho qualche problema di comprensione
Quindi è come dicevo io, ma il tuo professore/libro usa lo stesso testo di wikipedia? L’altro enunciato è comunque semplicemente un corollario di quello che hai detto tu.
Cosa non capisci del testo? Insomma se \(g(a) = 1\) e \(g(b)=3\) allora il teorema dice che se \(g\) è continua in \([a,b]\) allora esiste, per esempio, un \(a\le c\le b\) tale che \(g(c) = 2\).
Quindi devi verificare le seguenti cose:
1) la funzione \(f\) è continua e l'intervallo è del tipo giusto?
2) che valori assume negli estremi?
3) applicare il teorema e ragionare sulle sue conseguenze
4) la funzione può assumere valori al di fuori di quegli estremi? In questo caso è facile perché non solo l'intervallo fa valere il teorema di Weierstraß, ma la funzione possiede una caratteristica che rende il tutto banale (anche senza l'uso del teorema citato). Devi solo trovarla.
Cosa non capisci del testo? Insomma se \(g(a) = 1\) e \(g(b)=3\) allora il teorema dice che se \(g\) è continua in \([a,b]\) allora esiste, per esempio, un \(a\le c\le b\) tale che \(g(c) = 2\).
Quindi devi verificare le seguenti cose:
1) la funzione \(f\) è continua e l'intervallo è del tipo giusto?
2) che valori assume negli estremi?
3) applicare il teorema e ragionare sulle sue conseguenze
4) la funzione può assumere valori al di fuori di quegli estremi? In questo caso è facile perché non solo l'intervallo fa valere il teorema di Weierstraß, ma la funzione possiede una caratteristica che rende il tutto banale (anche senza l'uso del teorema citato). Devi solo trovarla.
scusa mi potresti far vedere il teorema applicato a quell'esercizio così da capirlo un po' meglio?
Ti ringrazio
Ti ringrazio
"vict85":
L’altro enunciato è comunque semplicemente un corollario di quello che hai detto tu.
Credo, dunque, che intendessi quello che ho detto io: non mi ricordo mai chi è il teorema e chi il corollario.
Non aggiungo altro, la risposta migliore è la tua.
Tornando a matematicamenteparlando, inizia, magari, a seguire i punti del ragionamento di vict85. Un pezzo alla volta, inizia, ad es., con il verificare se la funzione che hai soddisfa le ipotesi del teorema.
ok allora la funzione è continua perché somma di funzioni continue, ma cosa vuol dire "l'intervallo è del tipo giusto?"
L'intervallo deve essere chiuso e connesso (insomma in un unico blocco unito che comprende anche gli estremi). Che è così è piuttosto ovvio, ma è bene controllare sempre perché se il dominio non è chiuso oppure è diviso in più intervalli allora il teorema non vale.
Ok, passiamo agli estremi. Che valori assume in \(0\) e in \(4\)?
Ok, passiamo agli estremi. Che valori assume in \(0\) e in \(4\)?
in questo caso il dominio è $x>=0$ perciò è sia connesso(unico blocco) che comprendente l'estremo $0$,giusto?
poi $f(0)=0$ e $f(4)=22$
"matematicamenteparlando":
in questo caso il dominio è $x>=0$ perciò è sia connesso(unico blocco) che comprendente l'estremo $0$,giusto?
Che sia maggiore di zero non assicura in nessuno modo che sia chiuso e connesso. Quello che conta è che contiene ogni elemento tra 0 e 4 compresi i due estremi.
"matematicamenteparlando":
poi $f(0)=0$ e $f(4)=22$
\(\displaystyle f(0) = \frac{0^3}{4} + 0 + \sqrt{0} = 0 \)
\(\displaystyle f(4) = \frac{4^3}{4} + 4 + \sqrt{4} = 4^2 + 4 + 2 = 16 + 6 = 22 \)
Quindi hai fatto i calcoli giusti (se mostri i tuoi passaggi è meglio).
A questo punto il teorema di dice che \(\displaystyle [f(0), f(4)] = [0, 22] \subseteq f([0,4]) \). Ci sei?
Ragionando sulle proprietà delle 3 funzioni la cui somma è \(f\). Può esistere un \(\displaystyle c\in[0,4] \) tale che \(\displaystyle f(c) < 0 \) oppure \(\displaystyle f(c) > 22 \)? Questa domanda non richiede l'uso di teoremai, devi solo visualizzare le tre funzioni in quell'intervallo.
No, al massimo sarà appunto 22
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