Teorema successioni
Buonasera ragazzi, vi scrivo per dei chiarimenti riguardo un teorema sulle successioni.
1) volevo sapere se la mia dimostrazione era corretta
2) PIU' IMPORTANTE volevo capire la dimostrazione del prof.
Il teorema in questione dice: se la successione An-> l allora ogni sottosuccessione tende a limite finito.
Io per dimostrarlo ho ragionato molto semplicemente così:
siccome vale ciò \(\displaystyle ∀ \epsilon>0 \ \exists \delta >0 : \forall n > \delta =>|An-l|< \epsilon \)
e in particolare abbiamo la condizione che \(\displaystyle \forall n > \delta => ...\)
allora se va per ogni \(\displaystyle n \) allora vale sicuramente per \(\displaystyle n_k \) e quindi è dimostrato anche per la successione
___________________________________________________________
Il mio dubbio invece è sulla tecnica usata nella dimostrazione del prof. che , premetto, essa è usata anche per altre dimostrazione. In pratica non riesco a capire cosa vuole intendere. Ve la scrivo:
Se \(\displaystyle lim _{\, n->\infty} \, \, a_n =l \) , allora \(\displaystyle \forall \epsilon >0 \, \exists M \) tale che se \(\displaystyle n> M \) allora \(\displaystyle |a_n - l |<\epsilon \) .
Sia \(\displaystyle a_{n_k} \) una sottosuccessione di \(\displaystyle a_n \), con \(\displaystyle n_k -> \infty\). Allora \(\displaystyle \forall M >0 \, \exists N \) tale che se \(\displaystyle n > N \) allora \(\displaystyle n_k > M \).
Quindi \(\displaystyle \forall \epsilon >0 \, \, \exists N \) tale che se \(\displaystyle n>N \) allora \(\displaystyle n_k >M \) e quindi \(\displaystyle |a_{n_k} - l | < \epsilon \)
Grazie per la futura risposta ragazzi!
1) volevo sapere se la mia dimostrazione era corretta
2) PIU' IMPORTANTE volevo capire la dimostrazione del prof.
Il teorema in questione dice: se la successione An-> l allora ogni sottosuccessione tende a limite finito.
Io per dimostrarlo ho ragionato molto semplicemente così:
siccome vale ciò \(\displaystyle ∀ \epsilon>0 \ \exists \delta >0 : \forall n > \delta =>|An-l|< \epsilon \)
e in particolare abbiamo la condizione che \(\displaystyle \forall n > \delta => ...\)
allora se va per ogni \(\displaystyle n \) allora vale sicuramente per \(\displaystyle n_k \) e quindi è dimostrato anche per la successione
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Il mio dubbio invece è sulla tecnica usata nella dimostrazione del prof. che , premetto, essa è usata anche per altre dimostrazione. In pratica non riesco a capire cosa vuole intendere. Ve la scrivo:
Se \(\displaystyle lim _{\, n->\infty} \, \, a_n =l \) , allora \(\displaystyle \forall \epsilon >0 \, \exists M \) tale che se \(\displaystyle n> M \) allora \(\displaystyle |a_n - l |<\epsilon \) .
Sia \(\displaystyle a_{n_k} \) una sottosuccessione di \(\displaystyle a_n \), con \(\displaystyle n_k -> \infty\). Allora \(\displaystyle \forall M >0 \, \exists N \) tale che se \(\displaystyle n > N \) allora \(\displaystyle n_k > M \).
Quindi \(\displaystyle \forall \epsilon >0 \, \, \exists N \) tale che se \(\displaystyle n>N \) allora \(\displaystyle n_k >M \) e quindi \(\displaystyle |a_{n_k} - l | < \epsilon \)
Grazie per la futura risposta ragazzi!
Risposte
Ciao, mah diciamo che l'idea sotto le due dimostrazioni è la medesima solo che la prima è un po' imprecisa (oltre ad usare una notazione un po' fuorviante). Mi spiego:
La definizione di limite di successione è la seguente:
Sia $\{a_n\}_{n \in NN}$ una successione a valori reali. Diciamo che essa converge ad un numero reale $l$ se vale:
$\forall \epsilon >0 \quad \exists M = M(\epsilon) \in NN : n> M \Rightarrow |a_n -l|<\epsilon$
Usare $\delta$ al posto di $M$ è un po' fuorviante per chi magari è alle prime armi perché di solito in analisi $\delta$ indica un numero reale "piccolo" e non un naturale.
Nella tua dimostrazione non puoi dire
Perché non è vero in generale; quello che è vero in generale è che se $n>M$ allora esisterà un qualche $N$ naturale tale che se $k>N$ allora sarà $n_k >M$ e dunque puoi trarre la conclusione che anche la sottosuccessione converge.
La definizione di limite di successione è la seguente:
Sia $\{a_n\}_{n \in NN}$ una successione a valori reali. Diciamo che essa converge ad un numero reale $l$ se vale:
$\forall \epsilon >0 \quad \exists M = M(\epsilon) \in NN : n> M \Rightarrow |a_n -l|<\epsilon$
Usare $\delta$ al posto di $M$ è un po' fuorviante per chi magari è alle prime armi perché di solito in analisi $\delta$ indica un numero reale "piccolo" e non un naturale.
Nella tua dimostrazione non puoi dire
"luca66":
allora se va per ogni \( \displaystyle n \) allora vale sicuramente per \( \displaystyle n_k \)
Perché non è vero in generale; quello che è vero in generale è che se $n>M$ allora esisterà un qualche $N$ naturale tale che se $k>N$ allora sarà $n_k >M$ e dunque puoi trarre la conclusione che anche la sottosuccessione converge.
Perché non è vero in generale;
Quello che volevo dire io è che se vale per ogni \(\displaystyle n \) maggiore di delta allora vale anche per ogni \(\displaystyle n_k \) maggiore di \(\displaystyle n \) e quindi di conseguenza di \(\displaystyle \delta \).
Scusami ma per la fretta avevo dato per scontato questo
Quindi in linea generale è chiusa cosi la dimostrazione .. oppure sto sbagliando qualcosa?
Hai ben chiaro cosa sia una sottosuccessione?
Mmm come dice anto il problema potrebbe essere che non ti è chiarissimo cosa sia una sottosuccessione;
In ogni caso, informalmente, se vale per $n>\delta$ allora vale anche per gli $n_k>\delta$, se era quello che volevi dire.
Se vuoi risposte più precise devi scrivere in modo formalizzato cosicché si capisca cosa va e cosa no!
In ogni caso, informalmente, se vale per $n>\delta$ allora vale anche per gli $n_k>\delta$, se era quello che volevi dire.
Se vuoi risposte più precise devi scrivere in modo formalizzato cosicché si capisca cosa va e cosa no!
"Bremen000":
Mmm come dice anto il problema potrebbe essere che non ti è chiarissimo cosa sia una sottosuccessione;
In ogni caso, informalmente, se vale per $n>\delta$ allora vale anche per gli $n_k>\delta$, se era quello che volevi dire.
Se vuoi risposte più precise devi scrivere in modo formalizzato cosicché si capisca cosa va e cosa no!
Esatto ho scritto la stessa cosa che hai scritto tu e quindi intendevo quella ahah
Comunque ragazzi si ho capito cosa sia una successione.
Quindi in definitiva perché quella dimostrazione che ho scritto io è sbagliata ?
Se leggi bene non ho scritto quello che hai scritto tu.
E' sbagliata perché non è scritta in maniera precisa. La maniera precisa è:
Poiché
$\forall \epsilon >0 \quad \exists M=M(\epsilon) \in NN : n >M \Rightarrow |a_n-l|<\epsilon$
Data una sottosuccessione $\{a_{n_k}\}_{k \in NN}$, poiché $\lim_{k \to \infty} n_k = + \infty$ , per definizione di limite di successione:
$\exists N \in NN : k >N \Rightarrow n_k > M(\epsilon)$.
Quindi anche questo $N$ dipenderà da $\epsilon$. Inoltre se $k > N$ allora $n_k > M$ e quindi $|a_{n_k} -l | < \epsilon$. Ovvero:
$\forall \epsilon >0 \quad \exists N=N(\epsilon) \in NN : k > N \Rightarrow |a_{n_k}-l|<\epsilon$
che è la definizione di $\lim_{k \to \infty} a_{n_k} = l$.
E' sbagliata perché non è scritta in maniera precisa. La maniera precisa è:
Poiché
$\forall \epsilon >0 \quad \exists M=M(\epsilon) \in NN : n >M \Rightarrow |a_n-l|<\epsilon$
Data una sottosuccessione $\{a_{n_k}\}_{k \in NN}$, poiché $\lim_{k \to \infty} n_k = + \infty$ , per definizione di limite di successione:
$\exists N \in NN : k >N \Rightarrow n_k > M(\epsilon)$.
Quindi anche questo $N$ dipenderà da $\epsilon$. Inoltre se $k > N$ allora $n_k > M$ e quindi $|a_{n_k} -l | < \epsilon$. Ovvero:
$\forall \epsilon >0 \quad \exists N=N(\epsilon) \in NN : k > N \Rightarrow |a_{n_k}-l|<\epsilon$
che è la definizione di $\lim_{k \to \infty} a_{n_k} = l$.
Sì vero non era precisa. Grazie mille allora !
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