Teorema per le serie oscillanti
[pgn][/pgn]Cercando sul web , mi sono imbattuto in questo teorema:
Sostanzialmente , questo teorema mi permette di gestire il caso in cui :
"ho una serie numerica a segni alterni, ma non posso applicare il teorema di leibniz (perché non è verificata la condizione necessaria per la convergenza) "
Siccome , non ho trovato riscontro su alcun libro, mi chiedo: il Teorema è valido?
Ergo: se trovo una serie a segni alterni tale che:
i) $a_n$ è non negativa
ii) $lim a_n !=0$
iii) $a_n$ è monotona
posso dire che : la serie a segni alterni è "irregolare" ?
Sostanzialmente , questo teorema mi permette di gestire il caso in cui :
"ho una serie numerica a segni alterni, ma non posso applicare il teorema di leibniz (perché non è verificata la condizione necessaria per la convergenza) "
Siccome , non ho trovato riscontro su alcun libro, mi chiedo: il Teorema è valido?
Ergo: se trovo una serie a segni alterni tale che:
i) $a_n$ è non negativa
ii) $lim a_n !=0$
iii) $a_n$ è monotona
posso dire che : la serie a segni alterni è "irregolare" ?
Risposte
"gugo82":
La cosa veramente interessante è che lo stesso ragionamento usato per scrivere:
$sum_(k=1)^n 1 + 1/k = 1 + sum_(k=1)^n 1/k$
e concludere che essa diverge potrebbe essere usato per concludere che:
$sum_(k=1)^n 1 + 1/k^2 = 1 + sum_(k=1)^n 1/k^2$
cosicché la serie converge...
Ecco perché ho chiesto di $a_k=1 + 1/k^2$ , ovviamente.
"ghira":
Ma di nuovo il $(-1)^n$ lo dimentichi?
Non è che lo dimentico, è che non te lo so trattare quel caso
(motivo per cui mi serve capire se il teorema del post non è di fantasia, ma effettivamente si può utilizzare)
A meno di assumere per buono il Teorema posto nel primo post,
considerato che le ipotesi del criterio di leibniz non sono verificate,
mi resta solo da tentare di ragionare su un numero finito di termini
$sum_(n=1)^ oo (-1)^n (1+1/n^2) $
$s_n=sum_(k=1)^n (-1)^k (1+1/k^2)=-2+1.25-1.11+1.06 -1.04+...$
dove:
$s_(2n)$ tende a + oo
$s_(2n+1)$ tende a - oo
quindi il limite di $s_n$ non esiste .
Risultato: $sum_(n=1)^ oo (-1)^n (1+1/n^2) $ è irregolare
"CallistoBello":
Su questa uguaglianza:
$ sum_(n=1)^oo (1+1/n)=1+sum_(n=1)^oo 1/n$
Di quale ugualianza parli? Vedo una cosa falsa tranne quando $n=1$.
"CallistoBello":
[quote="ghira"]L' $1+$ a destra da dove viene?
Lo so che non è corretto formalmente, ma era per dire che la sommatoria agisce solo su quel $1/n$
[/quote]
Che stai a dì? Vedi il messaggio di Gugo.
"gugo82":
La cosa veramente interessante è che lo stesso ragionamento usato per scrivere:
$sum_(k=1)^n 1 + 1/k = 1 + sum_(k=1)^n 1/k$
e concludere che essa diverge potrebbe essere usato per concludere che:
$sum_(k=1)^n 1 + 1/k^2 = 1 + sum_(k=1)^n 1/k^2$
cosicché la serie converge...
Ok ho capito che non è corretto. Perché nel secondo caso mi porterebbe a concludere che quella serie converge, quando invece diverge.
"gugo82":
Questo accade quando si manipolano i simboli matematici malamente, senza averne compreso il funzionamento o il significato, perché -ad esempio- non si è ragionato compiutamente su esempi concreti e si è preferito trattarli superficialmente, associando loro (pseudo)significati che non gli appartengono.
Si, confermo che è quello che ho fatto. Ho provato ad andare ad intuito.
"gugo82":
Proviamo con un esempio concreto: ti pare vera l'uguaglianza:
∑k=151=1?
Sì? No? Non sempre? E perché?
Se l'uguaglianza non ti pare vera, come va modificata in modo da esserlo?
No ,è la somma dell'unità n+1 volte (se si parte da k=0) ed n volte (se si parte da k=1).
Quindi: 1 + 1 + 1 +1 +1 +1
k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5
$sum_(k=1)^5 1=5$
$sum_(k=1)^5 1=1+sum_(k=1)^4$
"gugo82":
Alla luce di quanto rispondi alla domanda di cui sopra, che mi dici dell'uguaglianza:
"gugo82":
∑k=151+1k=1+∑k=151k?
Ti pare vera? Sì? No? Non sempre? E perché?
Se no, come va modificata affinché sia valida?
$sum_(k=1)^(5) (1+1/k)=1+sum_(k=1)^5 1/k$
(1+1)+(1+1/2)+(1+1/3)+(1+1/4)+(1+1/5)=1+5
437/60=6
No, non è vera.
"gugo82":
Ed in generale, cosa puoi dire di:
∑k=1n1+1k=1+∑k=1n1k?
Eh,che non vale quell'uguaglianza
Ciò detto, questo ragionamento è ok?
"CallistoBello":
Non è che lo dimentico, è che non te lo so trattare quel caso
(motivo per cui mi serve capire se il teorema del post non è di fantasia, ma effettivamente si può utilizzare)
A meno di assumere per buono il Teorema posto nel primo post,
considerato che le ipotesi del criterio di leibniz non sono verificate,
mi resta solo da tentare di ragionare su un numero finito di termini
$sum_(n=1)^ oo (-1)^n (1+1/n^2) $
$s_n=sum_(k=1)^n (-1)^k (1+1/k^2)=-2+1.25-1.11+1.06 -1.04+...$
dove:
$s_(2n)$ tende a + oo
$s_(2n+1)$ tende a - oo
quindi il limite di $s_n$ non esiste .
Risultato: $sum_(n=1)^ oo (-1)^n (1+1/n^2) $ è irregolare
Scusa, ma cosa significa $1 + sum_(k=1)^5$?
Chi sono gli addendi di quella somma?
Chi sono gli addendi di quella somma?
"gugo82":
Scusa, ma cosa significa $ 1 + sum_(k=1)^5 $?
Chi sono gli addendi di quella somma?
significa sommare: n-volte 1 , con n=5
quindi fare:$ 1+1+1+1+1$
Dunque $ 1 + sum_(k=1)^51 $ significa fare $1+5$ cioè 6
"CallistoBello":
Dunque $1 + sum_(k=1)^5 $ significa fare $1+5$
Davvero?
Hai provato ad inserirlo in Wolframalpha?
Visto che questo sembra essere il modo in cui distingui cose sensate da cose che non lo sono...
"CallistoBello":
Ma questo non è ciò che hai scritto altrove:
"CallistoBello":
Dunque $1 + sum_(k=1)^5 $ significa fare $1+5$
Mettiti d'accordo con te stesso.
Cosa vuoi scrivere?
$1+sum_(k=1)^5 1$ o $1+sum_(k=1)^5$?
ahhh
Ma non è sottinteso?
In ogni caso, questo è ok?
Ma non è sottinteso?
In ogni caso, questo è ok?
"CallistoBello":
Non è che lo dimentico, è che non te lo so trattare quel caso
(motivo per cui mi serve capire se il teorema del post non è di fantasia, ma effettivamente si può utilizzare)
A meno di assumere per buono il Teorema posto nel primo post,
considerato che le ipotesi del criterio di leibniz non sono verificate,
mi resta solo da tentare di ragionare su un numero finito di termini
$sum_(n=1)^ oo (-1)^n (1+1/n^2) $
$s_n=sum_(k=1)^n (-1)^k (1+1/k^2)=-2+1.25-1.11+1.06 -1.04+...$
dove:
$s_(2n)$ tende a + oo
$s_(2n+1)$ tende a - oo
quindi il limite di $s_n$ non esiste .
Risultato: $sum_(n=1)^ oo (-1)^n (1+1/n^2) $ è irregolare
"CallistoBello":
ahhh
Ma non è sottinteso?
Ma anche no.
"CallistoBello":[/quote]
In ogni caso, questo è ok?
[quote="CallistoBello"]
Non è che lo dimentico, è che non te lo so trattare quel caso
(motivo per cui mi serve capire se il teorema del post non è di fantasia, ma effettivamente si può utilizzare)
A meno di assumere per buono il Teorema posto nel primo post,
considerato che le ipotesi del criterio di leibniz non sono verificate,
mi resta solo da tentare di ragionare su un numero finito di termini
$sum_(n=1)^ oo (-1)^n (1+1/n^2) $
$s_n=sum_(k=1)^n (-1)^k (1+1/k^2)=-2+1.25-1.11+1.06 -1.04+...$
dove:
$s_(2n)$ tende a + oo
$s_(2n+1)$ tende a - oo
quindi il limite di $s_n$ non esiste .
Risultato: $sum_(n=1)^ oo (-1)^n (1+1/n^2) $ è irregolare
No. Se avessi scritto bene la dimostrazione te ne saresti accorto.
Riassumendo, mi pare che tu abbia capito il tuo errore quando
perché naturalmente si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} (1 + 1/n) = \lim_{M \to +\infty}\sum_{n = 1}^{M} (1 + 1/n) = \lim_{M \to +\infty}(\sum_{n = 1}^{M} 1 + \sum_{n = 1}^{M} 1/n) = \lim_{M \to +\infty}(M + \sum_{n = 1}^{M} 1/n) $
Quindi semmai è esattamente il contrario, cioè la serie è divergente più per quell'$1$ che per il termine $1/n $
Dunque la serie con l'ottimo esempio di ghira (la cui preoccupazione condivido) $a_n = 1 + 1/n $ è divergente:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} a_n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (1 + 1/n) $
Peraltro questo è ovvio perché essa non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $, quindi non può convergere e siccome $ \AA n \in \NN $ si ha $a_n > 0 $ è chiaro che essa diverge positivamente. Qui però si sta discutendo di serie oscillanti, come da titolo del post, quindi ci interessa la serie seguente:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} b_n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n a_n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (- 1)^n (1 + 1/n) $
Visto che ti piace tanto WolframAlpha, prova ad inserire quest'ultima serie: al netto del fatto che la dichiara divergente (probabilmente perché considera tali tutte le serie che non soddisfano la condizione necessaria di convergenza di Cauchy), dai un'occhiata al grafico delle somme parziali... Non dovresti avere difficoltà a verificare che esse sono certamente comprese nell'intervallo delle ordinate $[- 2, - 1/2]$. Quindi in effetti la serie è oscillante (o irregolare, come preferisci).
Ti ricordo poi, anche se in realtà dovresti già saperlo, che $s_{n + 1} = s_n + b_{n + 1} $, quindi nel caso in esame ad esempio si ha:
$s_1 = b_1 = - 2 $
$s_2 = s_1 + b_2 = - 2 + 3/2 = - 1/2 $
$s_3 = s_2 + b_3 = - 1/2 - 4/3 = - 3/6 - 8/6 = - 11/6 > - 12/6 = - 2 $
$s_4 = s_3 + b_4 = - 11/6 + 5/4 = - 22/12 + 15/12 = - 7/12 < - 6/12 = - 1/2 $
e così via... Dovresti riuscire a notare (ma andrebbe dimostrato) che le somme parziali di posto dispari sono crescenti, seppur debolmente, mentre quelle di posto pari sono decrescenti, seppur debolmente: dunque, come già specificato, tutte le somme parziali sono comprese nella fascia $[- 2, - 1/2]$ e quindi
$- 2 \le \sum_{n = 1}^{+\infty} (- 1)^n (1 + 1/n) \le - 1/2 $
"CallistoBello":
ma era per dire che la sommatoria agisce solo su quel $1/n $
perché naturalmente si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} (1 + 1/n) = \lim_{M \to +\infty}\sum_{n = 1}^{M} (1 + 1/n) = \lim_{M \to +\infty}(\sum_{n = 1}^{M} 1 + \sum_{n = 1}^{M} 1/n) = \lim_{M \to +\infty}(M + \sum_{n = 1}^{M} 1/n) $
Quindi semmai è esattamente il contrario, cioè la serie è divergente più per quell'$1$ che per il termine $1/n $
Dunque la serie con l'ottimo esempio di ghira (la cui preoccupazione condivido) $a_n = 1 + 1/n $ è divergente:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} a_n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (1 + 1/n) $
Peraltro questo è ovvio perché essa non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $, quindi non può convergere e siccome $ \AA n \in \NN $ si ha $a_n > 0 $ è chiaro che essa diverge positivamente. Qui però si sta discutendo di serie oscillanti, come da titolo del post, quindi ci interessa la serie seguente:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} b_n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n a_n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (- 1)^n (1 + 1/n) $
Visto che ti piace tanto WolframAlpha, prova ad inserire quest'ultima serie: al netto del fatto che la dichiara divergente (probabilmente perché considera tali tutte le serie che non soddisfano la condizione necessaria di convergenza di Cauchy), dai un'occhiata al grafico delle somme parziali... Non dovresti avere difficoltà a verificare che esse sono certamente comprese nell'intervallo delle ordinate $[- 2, - 1/2]$. Quindi in effetti la serie è oscillante (o irregolare, come preferisci).
Ti ricordo poi, anche se in realtà dovresti già saperlo, che $s_{n + 1} = s_n + b_{n + 1} $, quindi nel caso in esame ad esempio si ha:
$s_1 = b_1 = - 2 $
$s_2 = s_1 + b_2 = - 2 + 3/2 = - 1/2 $
$s_3 = s_2 + b_3 = - 1/2 - 4/3 = - 3/6 - 8/6 = - 11/6 > - 12/6 = - 2 $
$s_4 = s_3 + b_4 = - 11/6 + 5/4 = - 22/12 + 15/12 = - 7/12 < - 6/12 = - 1/2 $
e così via... Dovresti riuscire a notare (ma andrebbe dimostrato) che le somme parziali di posto dispari sono crescenti, seppur debolmente, mentre quelle di posto pari sono decrescenti, seppur debolmente: dunque, come già specificato, tutte le somme parziali sono comprese nella fascia $[- 2, - 1/2]$ e quindi
$- 2 \le \sum_{n = 1}^{+\infty} (- 1)^n (1 + 1/n) \le - 1/2 $
"pilloeffe":
perché naturalmente si ha:
∑n=1+∞(1+1n)=limM→+∞∑n=1M(1+1n)=limM→+∞(∑n=1M1+∑n=1M1n)=limM→+∞(M+∑n=1M1n)
Quindi semmai è esattamente il contrario, cioè la serie è divergente più per quell'1 che per il termine 1n
Ok , quindi avrei dovuto "spezzare" la sommatoria della somma nella somma di due sommatorie.
"pilloeffe":
Dunque la serie con l'ottimo esempio di ghira (la cui preoccupazione condivido) an=1+1n è divergente:
∑n=1+∞an=∑n=1+∞(1+1n)
Peraltro questo è ovvio perché essa non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy limn→+∞an=0, quindi non può convergere e siccome ∀n∈N si ha an>0 è chiaro che essa diverge positivamente.
Fin qui ci sono.
"pilloeffe":
Visto che ti piace tanto WolframAlpha, prova ad inserire quest'ultima serie: al netto del fatto che la dichiara divergente (probabilmente perché considera tali tutte le serie che non soddisfano la condizione necessaria di convergenza di Cauchy),
Chiaro quindi in realtà quel "divergente" andrebbe interpretato come "non converge".
"pilloeffe":
Non dovresti avere difficoltà a verificare che esse sono certamente comprese nell'intervallo delle ordinate [−2,−12]. Quindi in effetti la serie è oscillante (o irregolare, come preferisci).
Che conferma la tesi del teorema nel caso $a_n$ decrescente
"pilloeffe":
Ti ricordo poi, anche se in realtà dovresti già saperlo, che sn+1=sn+bn+1, quindi nel caso in esame ad esempio si ha:
s1=b1=−2
s2=s1+b2=−2+32=−12
s3=s2+b3=−12−43=−36−86=−116>−126=−2
s4=s3+b4=−116+54=−2212+1512=−712<−612=−12
e così via... Dovresti riuscire a notare (ma andrebbe dimostrato) che le somme parziali di posto dispari sono crescenti, seppur debolmente, mentre quelle di posto pari sono decrescenti, seppur debolmente
Si, ma questo è il ragionamento che ho provato a fare nel caso di :
$sum_(n=1)^∞ (-1)^n(1+1/n^2)$
$s_1=b_1=-2$
$s_2=s_1+b_2=-2+(1+1/4)=-2+5/4=-0.75$
$s_3=s_2+b_3=-0.75-(1+1/9)=-0.75-1.11=-1.86$
$s_4=s_3+b_4=-1.86+(1+1/16)=-1.86+1.06=-0.8$
$s_5=s_4+b_5=-0.8-(1+1/25)=-0.8-1.04=-1.84$
$s_6=s_5+b_6=-1.84+(1+1/36)=-1.84+1.028=-0.81$
Da qui noto che:
le somme parziali di posto dispari sono crescenti
le somme parziali di posto pari sono decrescenti
Dando un'occhiata al grafico delle somme parziali
Da qui si nota: sono comprese(oscillanti) in una fascia $[-2 ,-1/2]$
A fronte di tutto questo discorso,
ne dovrei dedurre che anche : $sum_(n=1)^∞ (-1)^n(1+1/n^2)$ è irregolare?
E $a_n=1$?
"CallistoBello":
Da qui si nota: sono comprese(oscillanti) in una fascia $[−2,−1/2]$
Sì, però come ti dicevo la cosa andrebbe dimostrata, anche perché difficilmente durante una prova scritta ti sarà concessa la possibilità di consultare WolframAlpha...
Quindi, nel caso in esame dovresti dimostrare che $s_{2n + 1} > s_{2n - 1} \iff s_{2n + 1} - s_{2n - 1} > 0 $ e che $s_{2n + 2} < s_{2n} \iff s_{2n + 2} - s_{2n} < 0 $
"pilloeffe":
[quote="CallistoBello"]Da qui si nota: sono comprese(oscillanti) in una fascia $[−2,−1/2]$
Sì, però come ti dicevo la cosa andrebbe dimostrata, anche perché difficilmente durante una prova scritta ti sarà concessa la possibilità di consultare WolframAlpha...
Quindi, nel caso in esame dovresti dimostrare che $s_{2n + 1} > s_{2n - 1} \iff s_{2n + 1} - s_{2n - 1} > 0 $ e che $s_{2n + 2} < s_{2n} \iff s_{2n + 2} - s_{2n} < 0 $[/quote]
E perciò dico: se ho conferma che il teorema nel primo post è valido, allora io:
i) controllo che $a_n$ sia a termini non negativi
ii) vedo che la condizione necessaria per la convergenza non è verificata
iii) controllo che a_n sia o decrescente o crescente
--> concludo che quella serie a segni alterni è irregolare.
Non mi vado ad esaminare tutte le somme parziali.
"CallistoBello":
Chiaro quindi in realtà quel "divergente" andrebbe interpretato come "non converge".
Credo, come i numeri misti, i 4 tipi di equazioni di secondo grado ecc. che ci sia una differenza fra paesi qui. In alcuni posti, le serie o convergono o divergono.
In inglese per divergent si intende che non converge, ma è incluso il caso che sia oscillante.
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