Teorema per le serie oscillanti
[pgn][/pgn]Cercando sul web , mi sono imbattuto in questo teorema:
Sostanzialmente , questo teorema mi permette di gestire il caso in cui :
"ho una serie numerica a segni alterni, ma non posso applicare il teorema di leibniz (perché non è verificata la condizione necessaria per la convergenza) "
Siccome , non ho trovato riscontro su alcun libro, mi chiedo: il Teorema è valido?
Ergo: se trovo una serie a segni alterni tale che:
i) $a_n$ è non negativa
ii) $lim a_n !=0$
iii) $a_n$ è monotona
posso dire che : la serie a segni alterni è "irregolare" ?
Sostanzialmente , questo teorema mi permette di gestire il caso in cui :
"ho una serie numerica a segni alterni, ma non posso applicare il teorema di leibniz (perché non è verificata la condizione necessaria per la convergenza) "
Siccome , non ho trovato riscontro su alcun libro, mi chiedo: il Teorema è valido?
Ergo: se trovo una serie a segni alterni tale che:
i) $a_n$ è non negativa
ii) $lim a_n !=0$
iii) $a_n$ è monotona
posso dire che : la serie a segni alterni è "irregolare" ?
Risposte
La ii) deve essere "il limite esiste diverso da $0$".
Si , hai ragione.
Ma il teorema è ok? Oppure ci sono casi in cui sono verificati i tre punti ma la serie a segni alterni diverge?
Ma il teorema è ok? Oppure ci sono casi in cui sono verificati i tre punti ma la serie a segni alterni diverge?
Prova a dimostrarlo o a confutarlo con un controesempio... 
Se n'era già discusso in questo thread di qualche tempo fa...
Capisco che sia un discorso "da ingegneri" e non "da matematici", ma...
Se $\lim_{n \to +\infty} a_n \ne 0 $, la serie proposta non può convergere: ti interessa veramente distinguere se essa è divergente o irregolare? Perché comunque il discorso finisce lì, con un'etichetta o con un'altra...
Capisco che sia un discorso "da ingegneri" e non "da matematici", ma...
Se $\lim_{n \to +\infty} a_n \ne 0 $, la serie proposta non può convergere: ti interessa veramente distinguere se essa è divergente o irregolare? Perché comunque il discorso finisce lì, con un'etichetta o con un'altra...
"pilloeffe":
Capisco che sia un discorso "da ingegneri" e non "da matematici", ma...
Se limn→+∞an≠0, la serie proposta non può convergere: ti interessa veramente distinguere se essa è divergente o irregolare?
Si, sul libro di testo mi viene richiesto di studiare il comportamento di una serie di potenze negli estremi.
Nello specifico: ho un esercizio in cui dovrei trovarmi una serie irregolare
"pilloeffe":
Se n'era già discusso in questo thread di qualche tempo fa...
Da quel che ho capito: il teorema vale solo nel caso di |an| crescente.
"Se |an| è crescente, vale a dire se |an+1|≥|an| per ogni n, e la serie è a termini di segno alterno, allora effettivamente la serie è oscillante (nel senso che non esiste il limite delle somme parziali)"
ed effettivamente vale nel caso di $sum (-1)^n n^2$
E nel caso in cui fosse |an| decrescente?
$a_n=1+1/n$?
"ghira":
$a_n=1+1/n$?
I primi termini della successione sono: ${2,1+1/2,1+1/3,1+1/4,..}={2,1.5,1.3,1.25,...}$.
Quindi:
i) $a_n$ è non negativa
ii) $lim (1+1/n)=1!=0$
iii) $a_n$ è decrescente
$sum_( n=1)^oo (1+1/n)$=$1+sum_( n=1)^oo 1/n$
che è la serie armonica , che diverge positivamente.
Ne deduco che in questo caso la serie sia sempre divergente.
Eh ma il $(-1)^n$?
$sum_( n=1)^oo (1+1/n)$=$1+sum_( n=1)^oo 1/n$
che è la serie armonica , che diverge positivamente
.
Anche tralasciando il $(-1)^n$, no.
"otta96":
Eh ma il $ (-1)^n $?
$s_n=sum_(k=1)^n (-1)^k (1+1/k)=-2+1.5-1.3+1.25-1.2+...+(1+1/n)$
Ora , se ci prendiamo due estratte di questa successione : la sottosuccessione dei termini pari e la sottosuccessione dei termini dispari , si ha che
$s_(2n)=sum_(k=1)^n(-1)^(2k) (1+1/(2k))=sum_(k=1)^n (1+1/(2k))$
che nel limite per $n->+ oo $ diventa la serie : $sum_(n=1)^ oo (1+1/(2n))$ che diverge positivamente
(per confronto con la serie armonica)
$s_(2n+1)=sum_(k=1)^n(-1)^(2k+1) (1+1/(2k+1))= - sum_(k=1)^(n)(1/(2k+1))$
che nel limite per $n->+ oo$ diventa la serie: - $sum_(n=1)^ oo (1/(2n+1))$ che quindi diverge negativamente
(per confronto con la serie armonica)
Poiché ho trovato due estratte: $s_(2n)$ ed $s_(2n+1)$ che tendono a limiti diversi , allora il limite di $s_n$ non esiste.
Risultato : anche per le $a_n$ decrescenti, la serie a segni alterni è irregolare
Sono un po' preoccupato. Che ci dici di $a_n=1+1/n^2$?
"ghira":
$sum_( n=1)^oo (1+1/n)$=$1+sum_( n=1)^oo 1/n$
che è la serie armonica , che diverge positivamente
.
Anche tralasciando il $(-1)^n$, no.
In che senso?
"CallistoBello":
In che senso?
Nel senso che quello che dici non è vero. Su. E c'è lo stesso errore altre due volte nella risposta a otta.
"ghira":
[quote="CallistoBello"]
In che senso?
Nel senso che quello che dico non è vero.[/quote]
ma su cosa??
Sul teorema per le serie oscillanti?
Su questa uguaglianza:
$ sum_(n=1)^oo (1+1/n)=1+sum_(n=1)^oo 1/n$ perché non ho usato il teorema del confronto ma ho "spezzato" il termine generale della serie?
L' $1+$ a destra da dove viene?
"ghira":
L' $1+$ a destra da dove viene?
Lo so che non è corretto formalmente, ma era per dire che la sommatoria agisce solo su quel $1/n$
$a_n=1/n$ , $b_n=1+1/n$
$0
Se $sum a_n$ diverge -->$sum b_n$ diverge
meglio?
"CallistoBello":
meglio?
non credo
Su $a_n=1+1/n^2$ cosa dici?
"ghira":
[quote="CallistoBello"]
meglio?
non credo
Su $a_n=1+1/n^2$ cosa dici?[/quote]
$sum_(n=1)^oo (1+1/n^2) $ diverge positivamente
$lim 1+1/n^2 = 1+0 = 1$ --> la serie non converge
Essendo una serie a termini positivi -->"non può essere non regolare"
, l'unica altra possibilità è che diverga.
Ma di nuovo il $(-1)^n$ lo dimentichi?
La cosa veramente interessante è che lo stesso ragionamento usato per scrivere:
$sum_(k=1)^n 1 + 1/k = 1 + sum_(k=1)^n 1/k$
e concludere che essa diverge potrebbe essere usato per concludere che:
$sum_(k=1)^n 1 + 1/k^2 = 1 + sum_(k=1)^n 1/k^2$
cosicché la serie converge... E invece:
Questo accade quando si manipolano i simboli matematici malamente, senza averne compreso il funzionamento o il significato, perché -ad esempio- non si è ragionato compiutamente su esempi concreti e si è preferito trattarli superficialmente, associando loro (pseudo)significati che non gli appartengono.
Proviamo con un esempio concreto: ti pare vera l'uguaglianza:
$sum_(k=1)^5 1 = 1$?
Sì? No? Non sempre? E perché?
Se l'uguaglianza non ti pare vera, come va modificata in modo da esserlo?
Alla luce di quanto rispondi alla domanda di cui sopra, che mi dici dell'uguaglianza:
$sum_(k=1)^5 1 + 1/k = 1 + sum_(k=1)^5 1/k$?
Ti pare vera? Sì? No? Non sempre? E perché?
Se no, come va modificata affinché sia valida?
Ed in generale, cosa puoi dire di:
$sum_(k=1)^n 1 + 1/k = 1 + sum_(k=1)^n 1/k$?
$sum_(k=1)^n 1 + 1/k = 1 + sum_(k=1)^n 1/k$
e concludere che essa diverge potrebbe essere usato per concludere che:
$sum_(k=1)^n 1 + 1/k^2 = 1 + sum_(k=1)^n 1/k^2$
cosicché la serie converge... E invece:
"CallistoBello":
$sum_(n=1)^oo (1+1/n^2) $ diverge positivamente
Questo accade quando si manipolano i simboli matematici malamente, senza averne compreso il funzionamento o il significato, perché -ad esempio- non si è ragionato compiutamente su esempi concreti e si è preferito trattarli superficialmente, associando loro (pseudo)significati che non gli appartengono.
Proviamo con un esempio concreto: ti pare vera l'uguaglianza:
$sum_(k=1)^5 1 = 1$?
Sì? No? Non sempre? E perché?
Se l'uguaglianza non ti pare vera, come va modificata in modo da esserlo?
Alla luce di quanto rispondi alla domanda di cui sopra, che mi dici dell'uguaglianza:
$sum_(k=1)^5 1 + 1/k = 1 + sum_(k=1)^5 1/k$?
Ti pare vera? Sì? No? Non sempre? E perché?
Se no, come va modificata affinché sia valida?
Ed in generale, cosa puoi dire di:
$sum_(k=1)^n 1 + 1/k = 1 + sum_(k=1)^n 1/k$?
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