TEOREMA LAGRANGE

[Davide_861]

ciao a tutti..come faccio a capire per quali a e b il teorema di Lagrange si applica a

$f(x)=(x^2-4)^((a+1)/3)$

grazie in anticipo

[Davide_861]

sull'intervallo [b,5] !!!!

[G.D.5]

Do direttamente la rsposta, se qualcuno del forum la conferma e non ha modo o tempo per spiegare perchè allora lo faccio io, qualora fosse sbagliata (molto probabile) mi sa che dovrai aspettare.

Risposta: $a in RR$ e $b in RR : b !in [-2;2]$.

P.S.: dal momento che credo di avere sbagliato, sono molto curioso anche io di sapere come si fa, per caso qualcuno può dare delle indicazoni, così ci provo...

[f.bisecco]

il teorema di lagrange presuppone continuità e derivabilità....accertate le due ipotesi può essere applicato.
Vorrei porre una domanda all'autore del quesito..Ma il parametro $a$ è lo stesso che compare nell'enunciato del teorema?Oppure è un parametro qualsiasi che varia in tutto $R$??

[Davide_861]

a e b sono parametri reali..

[f.bisecco]

comunque se ho capito bene sull'intervallo $[b,5]$....
Secondo me dipende tutto dal parametro $a$....e quindi dalla quantità $(a+1)/3$..
bisognerebbe distinguere i casi possibili...

[f.bisecco]

Dico questo perchè a seconda dell'esponente della funzione cambia il dominio della stessa e quindi l'intervallo dove è continua e dove è derivabile e quindi dove il teorema è applicabile...

[Davide_861]

si..l'intervallo è quello..intendi dire i 3 casi?con a<0 a>0 e a=0??

[f.bisecco]

no direi i tre casi:

$(a+1)3>0$
$(a+1)3=0$
$(a+1)3<0$

[f.bisecco]

ho dimenticato la frazione...

[f.bisecco]

scusa ho dimenticato le frazioni....

[G.D.5]

Io ho ragionato così: fissato $a in RR$, si ha una potenza con base variabile ed esponente costante; di tale esponente non sappiamo però se è intero, razionale o irrazionale, positvo o negativo, quind, senza perdere di generalità, assumiamo che il dominio della funzone sia l'insieme dei valori che rendono $x^2-4>0$ e tali valori sono ovviamente quelli degli ntervalli $[-oo;-2) cup (2;+oo]$.

In questi intervalli la funzione è derivabile e continua (infatti, posto $alpha=(a+1)/3$, la funzione $(x^2-4)^alpha$ ha come derivata $alpha(x^2-4)^(alpha-1)$ e tale derivata esiste finita $forall x in [-oo;-2) cup (2;+oo]$), quindi purchè l'intervallo $[b;5]$ sia un sottointervallo dei precedenti allora il Teorema è applicabile, da cui la risposta che ho dato.

Se non si vuole discutere nel dettaglio il valore del parametro $a$ questo ragionamento è buono oppure ho preso una tranvata?

[f.bisecco]

anche io fisserei $a in R$ e direi che $2

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[Davide_861]

..perchè secondo me è $3radq2

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[Davide_861]

intendo dire b compreso tra radice terza di 2 e 5

[G.D.5]

"f.bisecco":anche io fisserei $a in R$ e direi che $2

Per f.bisecco

E la discussione dei tre casi $(a+1)/3<0$, $(a+1)/3=0$ e $(a+1)/3>0$ a questo punto non si fa più?

[f.bisecco]

certo che bisogna farla....
nei tre casi l'unica cosa che cambia è la base che nel primo caso è al num e nel sec è al den....perciò il dominio cambia...se però consideriamo $x>2$ vediamo che la funzione è sempre continua e derivabile....da ciò la mia risposta....
il fatto di porre la limitazione deriva dall'esponente che se è maggiore di zero ed è pari(o con denominatore pari) bisogna che sia $x^2-4>0$ ovviamente...

[G.D.5]

Ok...va bene.

[G.D.5]

Per Davide_86

una curiosità: ma il risultato con lo svolgimento dell'esercizo e l'hai?

[Davide_861]

in tutti e tre i casi,secondo quanto stà scritto nel risultato,b è compreso tra 5 e radice terza di 2..il procedimento cmq non c'è,ma conoscendo l'insegnante può esserci qualche errore..ho chiesto a voi anche per questo..

[G.D.5]

Molto probabilmente sto per sparare una gran boiata ma mi è venuto questo dubbio: se discutiamo i casi di positività o negatività dell'esponente allora perchè non discutere i casi in cui l'esponente viene intero per $a+1=3k$ con $k in ZZ^{+}$: in tal caso il dominio sarebbe $RR$ e $b$ potrebbe essere un reale qualunque...cos'è che mi sfugge?