Teorema integrale di cauchy

[alieno1]

$\int_{D}^{} (e^z)/[ (z+3)^2*(z-1)] dx$


Applicando il primo teorema integrale di chauchy con z=1 lo risolvo.


Il problema mio sarebbe di applicare la formula integrale di caychy per le derivate alla funzione


$\int_{D2}^{} (e^z)/[ (z+3)^2(z-1)] dx$=$2pi*i*f'(-3)$

Come lo posso applicare? il risultato deve venire $ (-5pi*i)/(8e^3)$

Devo fare la derivata della funzione e poi sostituire al punto x=-3?

[Antimius]

Cos'è $D$?

[alieno1]

"Antimius":Cos'è $D$?

Il dominio d2, non è questo il problema, rispetto al polo con grado 1 lo calcolato ristretto al dominio 1, mi rimane da calcolare rispetto al polo con grado 2. Si procede facendo la derivata e poi sostituendo a z il valore -3?

[Antimius]

Quello che voglio dire: è una curva che circuita attorno a $1$, attorno a $-3$ o attorno a entrambi? Perché viene un integrale diverso in ogni caso.

Forse, devi calcolarlo nel caso in cui la curva circuiti attorno a $1$ e poi rifare l'esercizio nel caso in cui circuiti attorno a $-3$?
Se ho capito bene, allora nel secondo caso, devi fare come dici: calcoli la derivata di $f(z)=\frac{e^z}{z-1}$ per $z=-3$.
Dalla formula di Cauchy, ottieni \(\displaystyle \oint \frac{e^z}{(z-1)(z+3)^2}=\oint \frac{f(z)}{(z+3)^2}=2\pi i \left. \frac{df(z)}{dz} \right | _{z=-3} \)

[gugo82]

@ alieno: In realtà non si capisce quale sia il tuo problema, o la tua domanda... Ti spiacerebbe essere più chiaro?

[caos81]

"gugo82":@ alieno: In realtà non si capisce quale sia il tuo problema, o la tua domanda... Ti spiacerebbe essere più chiaro?

Boh...? Neanche io ci ho capito molto...forse chiedeva (da quel poco che ho capito) come calcolare il residuo nella singolarità del II Ordine $z=-3$. In tal caso la formula generale per il calcolo dei residui in un polo di ordine $k$ è:
$$
a_{-k}=\left.\frac{1}{(k-1)!}\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\left[(z-z_0)^kf(z)\right]\right|_{z=z_0}
$$
nel tuo caso è
$$
a_{-2}=\left.\frac{d}{dz}\left[\frac{e^z}{(z-1)}\right]\right|_{z=-3}
$$
cioè fai la derivata di $\frac{e^z}{(z-1)}$ e poi calcoli il tutto in $z=-3$

P.S. Dal risultato che hai postato, sembrerebbe che tu debba poi applicare anche il teorema dei Residui (cioè fai la somma del residuo in $z=-3$ con quello in $z=1$ che ti calcoli a parte, che è più facile perchè è del I Ordine), poi fai la somma e moltiplichi per $2\pi i$.
il residuo relativo al polo in $1$ lo calcoli semplicemente facendo
$$
a_{-1}=\left.\frac{e^z}{(z+3)^2}\right|_{z=1}
$$
e poi ricavi il risultato finale facendo
$$
2\pi i(a_{-1}+a_{-2})\,.
$$