Teorema funzioni implicite e teorema del Dini
salve a tutti... una traccia di analisi 2 mi dice :
Stabilire per quali (xo,yo) passa una funzione implicitamente definita dall' equazione $ x^4 +3xy^2 + y^4 = 0 $ e studiare la sua monotonia.
qualcuno mi sa dire come svolgerlo? grazie mille in anticipo
Stabilire per quali (xo,yo) passa una funzione implicitamente definita dall' equazione $ x^4 +3xy^2 + y^4 = 0 $ e studiare la sua monotonia.
qualcuno mi sa dire come svolgerlo? grazie mille in anticipo
Risposte
Benvenuto!
Ad esempio: volendo definire una funzione nella variabile [tex]$x$[/tex], fissa [tex]$y_0$[/tex] econsidera la funzione ausiliare [tex]$\phi:\forall x\in\mathbb{R}\to\dot\exists x^4+3xy_0^2+y_0^4\in\mathbb{R}$[/tex], devi dimostra che [tex]$\dot\exists z\in\mathbb{R}\mid \phi(z)=0$[/tex].
Sai come poter risolvere il sub-problema posto?
EDIT: Accogliendo l'invito di dissonance (post successivo); penso che debba spiegare il simbolo [tex]$\dot\exists$[/tex], tale è il quantificatore esistenziale [tex]$\exists$[/tex] "rafforzato" ovvero è da interpretare come: esiste unico\unica.
Ad esempio: volendo definire una funzione nella variabile [tex]$x$[/tex], fissa [tex]$y_0$[/tex] econsidera la funzione ausiliare [tex]$\phi:\forall x\in\mathbb{R}\to\dot\exists x^4+3xy_0^2+y_0^4\in\mathbb{R}$[/tex], devi dimostra che [tex]$\dot\exists z\in\mathbb{R}\mid \phi(z)=0$[/tex].
Sai come poter risolvere il sub-problema posto?
EDIT: Accogliendo l'invito di dissonance (post successivo); penso che debba spiegare il simbolo [tex]$\dot\exists$[/tex], tale è il quantificatore esistenziale [tex]$\exists$[/tex] "rafforzato" ovvero è da interpretare come: esiste unico\unica.
Però, j18eos, che notazioni... Secondo me sarebbe opportuno spiegarle un po'. Non le trovo proprio immediate.
"dissonance":Lo prendo come un complimento; ho esplicitato un simbolo che reputo non molto standard sperando che tu ti sia rivolto ad esso, altrimenti chiedo altre indicazioni.
Però, j18eos, che notazioni...
Grazie della (reciproca) collaborazione!
"j18eos":
EDIT: Accogliendo l'invito di dissonance (post successivo); penso che debba spiegare il simbolo [tex]$\dot\exists$[/tex], tale è il quantificatore esistenziale [tex]$\exists$[/tex] "rafforzato" ovvero è da interpretare come: esiste unico\unica.
Devo ammettere che non avevo mai visto questo simbolo; piuttosto, ho sempre visto (e usato) $EE!$ per "esiste ed è unico".
Bah, questione di notazioni.
[quote=j18eos]Benvenuto!
Ad esempio: volendo definire una funzione nella variabile [tex]$x$[/tex], fissa [tex]$y_0$[/tex] econsidera la funzione ausiliare [tex]$\phi:\forall x\in\mathbb{R}\to\dot\exists x^4+3xy_0^2+y_0^4\in\mathbb{R}$[/tex], devi dimostra che [tex]$\dot\exists z\in\mathbb{R}\mid \phi(z)=0$[/tex].
Sai come poter risolvere il sub-problema posto?
emh....a dire il vero no
Ad esempio: volendo definire una funzione nella variabile [tex]$x$[/tex], fissa [tex]$y_0$[/tex] econsidera la funzione ausiliare [tex]$\phi:\forall x\in\mathbb{R}\to\dot\exists x^4+3xy_0^2+y_0^4\in\mathbb{R}$[/tex], devi dimostra che [tex]$\dot\exists z\in\mathbb{R}\mid \phi(z)=0$[/tex].
Sai come poter risolvere il sub-problema posto?
emh....a dire il vero no
Devi studiare il comportamento ai limiti di tale funzione e studiarne la monotonia (derivata prima).
OUT OF SELF @Paolo90 A scrivere a mano uso i classici simboli [tex]$\exists!$[/tex] e [tex]$\exists|$[/tex], l'altro solo per il LaTeX in quanto mi piace di più; e comunque non l'ho ideata io tal forma.
OUT OF SELF @Paolo90 A scrivere a mano uso i classici simboli [tex]$\exists!$[/tex] e [tex]$\exists|$[/tex], l'altro solo per il LaTeX in quanto mi piace di più; e comunque non l'ho ideata io tal forma.
Ma scusate non basta applicare il teorema del Dini?
per vedere dove quella cuva non può essere una funzione y(x) o x(y) cerchiamno i punti della curva tali che $nablaf(x,y)=(0,0)$
Il sistema mi dà: ${(4x^3+3y^2=0);(4y^3+3xy=0);(x^4+3xy^2+y^4=0)}$ che ha come unica soluzione il punto (0,0); nell'intorno di (0,0), quindi, la curva f(x,y)=0 non può esser espressa come funzione mentre in tutti gli altri che soddisfano f(x,y)=0 sì.
per vedere dove quella cuva non può essere una funzione y(x) o x(y) cerchiamno i punti della curva tali che $nablaf(x,y)=(0,0)$
Il sistema mi dà: ${(4x^3+3y^2=0);(4y^3+3xy=0);(x^4+3xy^2+y^4=0)}$ che ha come unica soluzione il punto (0,0); nell'intorno di (0,0), quindi, la curva f(x,y)=0 non può esser espressa come funzione mentre in tutti gli altri che soddisfano f(x,y)=0 sì.
PS ovviamente Dini si può usare perchè la f è di classe ci uno su $R^2$
@antani Così determini per quali punti di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] la funzione [tex]$x^4+3xy^2+y^4$[/tex] definisce implicitamente e localmente in essi una funzione in una variabile. Io ho capito che enzo818 debba determinare i punti dell'insieme [tex]$\{(x;y)\in\mathbb{R}^2\mid x^4+3xy^2+y^4=0\}$[/tex] che formano il grafico di una funzione.
veramente il teorema di Dini dice "data una f(x,y) di classe $C^1(A), A subset R^2$ , si considera l'insieme delle x, y di A t.c. f(x,y)=0. Se questo non è vuoto, nell'intorno di ogni punto apparentente ad esso tale che $nablaf(x,y)!=0$, questo insieme rappresenta il grafico di una funzione derivabile"
che mi pare sia quello che chiede il testo...Poi per la monotonia si può fare un discorso basato sul fatto che sempre il teorema di Dini forinsce anche una formula per il calcolo della derivata in ognuno di questi punti...
che mi pare sia quello che chiede il testo...Poi per la monotonia si può fare un discorso basato sul fatto che sempre il teorema di Dini forinsce anche una formula per il calcolo della derivata in ognuno di questi punti...
"j18eos":E non è forse la stessa cosa che dice antani? L'idea per lo svolgimento è quella proposta da lui.
@antani Così determini per quali punti di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] la funzione [tex]$x^4+3xy^2+y^4$[/tex] definisce implicitamente e localmente in essi una funzione in una variabile. Io ho capito che enzo818 debba determinare i punti dell'insieme [tex]$\{(x;y)\in\mathbb{R}^2\mid x^4+3xy^2+y^4=0\}$[/tex] che formano il grafico di una funzione.
P.S.: inoltre quando parlavo di notazioni non mi riferivo solo al puntino sopra $\exists$, ma a tutta questa frase
considera la funzione ausiliare [tex]$\phi:\forall x\in\mathbb{R}\to\dot\exists x^4+3xy_0^2+y_0^4\in\mathbb{R}$[/tex], devi dimostra che [tex]$\dot\exists z\in\mathbb{R}\mid \phi(z)=0$[/tex].
che trovavo e continuo a trovare incomprensibile.
1)
[tex]$\phi:\forall x\in\mathbb{R}\to\dot\exists x^4+3xy_0^2+y_0^4\in\mathbb{R}$[/tex]quale sarebbe la funzione definita da questa frase? non si capisce.
2)
devi dimostra che [tex]$\dot\exists z\in\mathbb{R}\mid \phi(z)=0$[/tex]Mah. Chiaro, se non si sa cos'è $phi$ difficilmente si potrà capire cos'è questa roba, ma mi sa tanto di errore: stai dicendo che l'equazione data deve avere una soluzione isolata?
Ho indicato la via esecutiva che conosco. 
P.S.: 1) Avendo fissato il numero reale [tex]$y_0$[/tex] come ho scritto
Quindi la frase letta nella sua interezza è semplicemente chiara e matematicamente corretta! -_-
2) Credo che, per quanto scritto in "1)", quel post non contenga errori.
3) Per cortesia dissonance, verso di me e gli altri utenti, esplicita le parti dei post che non ti sembrano chiare.
P.S.: 1) Avendo fissato il numero reale [tex]$y_0$[/tex] come ho scritto
"j18eos":ovvio che sottointendo l'essere [tex]$y_0$[/tex] un numero reale.
...fissa [tex]$y_0$[/tex] e considera la funzione ausiliare [tex]$\phi:\forall x\in\mathbb{R}\to\dot\exists x^4+3xy_0^2+y_0^4\in\mathbb{R}$[/tex]...
Quindi la frase letta nella sua interezza è semplicemente chiara e matematicamente corretta! -_-
2) Credo che, per quanto scritto in "1)", quel post non contenga errori.
3) Per cortesia dissonance, verso di me e gli altri utenti, esplicita le parti dei post che non ti sembrano chiare.
Non mi è chiaro cosa intendi con
soprattutto. Poi da questa incomprensione diventa impossibile comprendere il resto del post e specialmente l'equazione [tex]\phi(z)=0[/tex].
[tex]$\phi:\forall x\in\mathbb{R}\to\dot\exists x^4+3xy_0^2+y_0^4\in\mathbb{R}$[/tex]
soprattutto. Poi da questa incomprensione diventa impossibile comprendere il resto del post e specialmente l'equazione [tex]\phi(z)=0[/tex].
La traccia dell'esercizio è determinare per quali [tex]$(x_0;y_0)\in\mathbb{R}^2$[/tex] l'equazione [tex]$x^4+3xy^2+y^4=0$[/tex] definisce una funzione.
L'idea è che fissata l'ordinata [tex]$y_0$[/tex] determinare che esiste un'unica [tex]$x_0$[/tex] soddisfacente l'equazione, quindi; ribadisco che la [tex]$y_0$[/tex] è un generico numero reale fissato, considerata la funzione ausiliare [tex]$\phi:\mathbb{R}\ni x\mapsto x^4+3xy_0^2+y_0\in\mathbb{R}$[/tex] dimostrare, mediante il suo studio, che essa ha un unico zero.
Ciò può avvenire per opportune condizioni su [tex]$y_0$[/tex], da determinarsi con lo studio prescritto.
Determinate tali condizioni si ottiene così che fissata la [tex]$y_0$[/tex], secondo le condizioni trovate, esiste unica la [tex]$x_0$[/tex] tale che [tex]$x_0^4+3x_0y_0^2+y_0^4=0$[/tex].
Denominato [tex]$D$[/tex] l'insieme delle [tex]$y$[/tex] consone allo scopo dell'esercizio resta dimostrata l'esistenza di una funzione [tex]$f$[/tex] definita su [tex]$D$[/tex] tale [tex]$\forall y\in D,\,[f(y)]^4+3f(y)y^2+y^4=0$[/tex].
Questo è tutto il ragionamento; per ulteriori confronti la fonte è qui a pagina 123.
EDIT: Standardizzata secondo il suggerimento seguente di gugo.
L'idea è che fissata l'ordinata [tex]$y_0$[/tex] determinare che esiste un'unica [tex]$x_0$[/tex] soddisfacente l'equazione, quindi; ribadisco che la [tex]$y_0$[/tex] è un generico numero reale fissato, considerata la funzione ausiliare [tex]$\phi:\mathbb{R}\ni x\mapsto x^4+3xy_0^2+y_0\in\mathbb{R}$[/tex] dimostrare, mediante il suo studio, che essa ha un unico zero.
Ciò può avvenire per opportune condizioni su [tex]$y_0$[/tex], da determinarsi con lo studio prescritto.
Determinate tali condizioni si ottiene così che fissata la [tex]$y_0$[/tex], secondo le condizioni trovate, esiste unica la [tex]$x_0$[/tex] tale che [tex]$x_0^4+3x_0y_0^2+y_0^4=0$[/tex].
Denominato [tex]$D$[/tex] l'insieme delle [tex]$y$[/tex] consone allo scopo dell'esercizio resta dimostrata l'esistenza di una funzione [tex]$f$[/tex] definita su [tex]$D$[/tex] tale [tex]$\forall y\in D,\,[f(y)]^4+3f(y)y^2+y^4=0$[/tex].
Questo è tutto il ragionamento; per ulteriori confronti la fonte è qui a pagina 123.
EDIT: Standardizzata secondo il suggerimento seguente di gugo.
"j18eos":
funzione ausiliare [tex]$\phi:\forall x\in\mathbb{R}\to\dot\exists x^4+3xy_0^2+y_0\in\mathbb{R}$[/tex]
Siceramente, la notazione è brutta.
Non capisco perchè non usare quella standard:
[tex]$\phi : \mathbb{R} \ni x\mapsto x^4+3xy_0^2+y_0\in\mathbb{R}$[/tex]
o:
[tex]$\begin{displaymath} \begin{split} \phi :\mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto x^4+3xy_0^2+y_0\end{split} \end{displaymath}$[/tex]
oppure:
[tex]$\phi :\mathbb{R} \to \mathbb{R},\ \phi(x) = x^4+3xy_0^2+y_0$[/tex]
ovvero:
[tex]$\phi(x):=x^4+3xy_0^2+y_0$[/tex]...
Che bisogno c'è di tutti quei quantificatori?
Sono inutili e rendono solo più difficile la lettura della formula.
Che fossero inutili non lo sapevo. -_-
Agli esami scritti\orali non m'hanno mai detto una cosa del genere, nessun commento, nulla...
Agli esami scritti\orali non m'hanno mai detto una cosa del genere, nessun commento, nulla...
[OT, notazionale]
Più che inutili, pleonastici.
Va da sé che una funzione è definita in tutto il dominio ed assume un unico valore del codominio (questo fatto finchè non studi l'Analisi Complessa, che ti cambia un po' il modo di vedere la faccenda), quindi mettere quei [tex]$\forall$[/tex] ed [tex]$\exists !$[/tex] è come scrivere [tex]$1\cdot \frac{2}{1}$[/tex] al posto di [tex]$2$[/tex].
[/OT]
Più che inutili, pleonastici.
Va da sé che una funzione è definita in tutto il dominio ed assume un unico valore del codominio (questo fatto finchè non studi l'Analisi Complessa, che ti cambia un po' il modo di vedere la faccenda), quindi mettere quei [tex]$\forall$[/tex] ed [tex]$\exists !$[/tex] è come scrivere [tex]$1\cdot \frac{2}{1}$[/tex] al posto di [tex]$2$[/tex].
[/OT]
Ma poi non capisco perchè tutto sto casino per un esercizietto che col teorema di Dini è una passeggiata, ed è un teorema abbastanza elementare,lo so pure io, dal titolo di questa cartella si capiva probabilmente che lo stesso autore intuisse che era da usare, anche se probabilmente non sapeva come.
Al di là delle notazioni, a me spiace soltanto che quel poveretto che che ha chiesto aiuto è quello che in sto topic ha scritto meno ed è sparito, probabilmente trovandosi un casino totale in testa.
Al di là delle notazioni, a me spiace soltanto che quel poveretto che che ha chiesto aiuto è quello che in sto topic ha scritto meno ed è sparito, probabilmente trovandosi un casino totale in testa.
"antani":
Ma poi non capisco perchè tutto sto casino per un esercizietto che col teorema di Dini è una passeggiata, ed è un teorema abbastanza elementare,lo so pure io, dal titolo di questa cartella si capiva probabilmente che lo stesso autore intuisse che era da usare, anche se probabilmente non sapeva come.
Al di là delle notazioni, a me spiace soltanto che quel poveretto che che ha chiesto aiuto è quello che in sto topic ha scritto meno ed è sparito, probabilmente trovandosi un casino totale in testa.
infatti
con il teorema del Dini come si svolge?? in cosa consiste il teorema del Dini in parole povere? visto che non ho trovato una spiegazione decente su internet (ne tantomeno sul libro) e alla spiegazione ero assente? grazie mille
"enzo818":
[quote="antani"]Ma poi non capisco perchè tutto sto casino per un esercizietto che col teorema di Dini è una passeggiata, ed è un teorema abbastanza elementare,lo so pure io, dal titolo di questa cartella si capiva probabilmente che lo stesso autore intuisse che era da usare, anche se probabilmente non sapeva come.
Al di là delle notazioni, a me spiace soltanto che quel poveretto che che ha chiesto aiuto è quello che in sto topic ha scritto meno ed è sparito, probabilmente trovandosi un casino totale in testa.
infatti
...[/quote] Stanti così i fatti, ti chiedo scusa per il danno fatto."enzo818":Te l'ha indicata antani qui e te l'ha confermata dissonance qui.
...con il teorema del Dini come si svolge??...
"enzo818":Per evitare altri danni mi astengo dal rispondere.
...in cosa consiste il teorema del Dini in parole povere? visto che non ho trovato una spiegazione decente su internet (ne tantomeno sul libro) e alla spiegazione ero assente? grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo