Teorema funzioni implicite e teorema del Dini
salve a tutti... una traccia di analisi 2 mi dice :
Stabilire per quali (xo,yo) passa una funzione implicitamente definita dall' equazione $ x^4 +3xy^2 + y^4 = 0 $ e studiare la sua monotonia.
qualcuno mi sa dire come svolgerlo? grazie mille in anticipo
Stabilire per quali (xo,yo) passa una funzione implicitamente definita dall' equazione $ x^4 +3xy^2 + y^4 = 0 $ e studiare la sua monotonia.
qualcuno mi sa dire come svolgerlo? grazie mille in anticipo
Risposte
nessun danno!!! anzi!!! grazie mille a te e a tutti quelli che mi stanno aiutando!!! siete davvero grandi TUTTI !!!
"enzo818":Meno male, così mi sento meno depresso (non sono sarcastico 'sta volta)!
nessun danno!!!...
"enzo818":Lo dici tu... prego, di nulla!
...grazie mille a te e a tutti quelli che mi stanno aiutando!!!...
"enzo818":(NO COMMENT)
...siete davvero grandi TUTTI !!!
Ragazzi vi chiedo scusa ma qui è un po' un casinetto xD
ripartiamo dall'inizio...
Per "stabilire per quali (xo,yo) passa una funzione implicitamente definita dall' equazione $ x^4+3xy^2+y^4=0 $ " si fa il $∇f(x,y)=(0,0)$ e quindi il sistema...giusto? ed abbiamo il punto (0;0) ; questo punto cosa rappresenta??
Per studiare la monotonia cosa si fa?
scusate se sono ottuso
ma vorrei capirci qualcosa grazie mille...
ripartiamo dall'inizio...
Per "stabilire per quali (xo,yo) passa una funzione implicitamente definita dall' equazione $ x^4+3xy^2+y^4=0 $ " si fa il $∇f(x,y)=(0,0)$ e quindi il sistema...giusto? ed abbiamo il punto (0;0) ; questo punto cosa rappresenta??
Per studiare la monotonia cosa si fa?
scusate se sono ottuso
ma vorrei capirci qualcosa grazie mille...
Poni $f(x,y) = x^4+3x y^2+y^4$ e $\Gamma = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: f(x,y) = 0$.
Chiaramente $(0,0)\in\Gamma$. Inoltre, se $(x,y)\in\Gamma$ e $x\ne 0$, allora necessariamente $x<0$.
In particolare, $\Gamma$ è tutto contenuto nel semipiano $\{x\le 0\}$.
Inoltre $\Gamma$ è simmetrico rispetto all'asse $x$, dal momento che $f(x,y) = f(x,-y)$ per ogni $(x,y)$.
Detto questo, vedi subito (risolvendo l'equazione biquadratica in $y$) che i punti di $\Gamma$ soddisfano una delle due relazioni sequenti:
1) $y^2 = -\frac{x}{2} (3-\sqrt{9-4x^2})$, $x\in [-2/3, 0]$,
2) $y^2 = -\frac{x}{2} (3+\sqrt{9-4x^2})$, $x\in [-2/3, 0]$.
Adesso dovresti avere tutte le info che ti servono.
Un plot di $\Gamma$ lo trovi qui:
http://j.mp/bffKEx
Chiaramente $(0,0)\in\Gamma$. Inoltre, se $(x,y)\in\Gamma$ e $x\ne 0$, allora necessariamente $x<0$.
In particolare, $\Gamma$ è tutto contenuto nel semipiano $\{x\le 0\}$.
Inoltre $\Gamma$ è simmetrico rispetto all'asse $x$, dal momento che $f(x,y) = f(x,-y)$ per ogni $(x,y)$.
Detto questo, vedi subito (risolvendo l'equazione biquadratica in $y$) che i punti di $\Gamma$ soddisfano una delle due relazioni sequenti:
1) $y^2 = -\frac{x}{2} (3-\sqrt{9-4x^2})$, $x\in [-2/3, 0]$,
2) $y^2 = -\frac{x}{2} (3+\sqrt{9-4x^2})$, $x\in [-2/3, 0]$.
Adesso dovresti avere tutte le info che ti servono.
Un plot di $\Gamma$ lo trovi qui:
http://j.mp/bffKEx
scusami ma non ho capito
allora...si fa il sistema con
1: derivata rispetto ad x
2. derivata rispetto ad y
3. funzione
si trova il punto (in questo caso (0;0)) questo è il punto per il quale passa la funzione?
come si studia la monotonia? scusate ma con le lettere greche ecc non ci so fare molto...
allora...si fa il sistema con
1: derivata rispetto ad x
2. derivata rispetto ad y
3. funzione
si trova il punto (in questo caso (0;0)) questo è il punto per il quale passa la funzione?
come si studia la monotonia? scusate ma con le lettere greche ecc non ci so fare molto...
Non ho capito cosa ci fai con quel sistema.
I punti dove il gradiente si annulla sono quelli dove NON puoi applicare il teorema della funzione implicita.
I punti dove il gradiente si annulla sono quelli dove NON puoi applicare il teorema della funzione implicita.
"Rigel":
Non ho capito cosa ci fai con quel sistema.
I punti dove il gradiente si annulla sono quelli dove NON puoi applicare il teorema della funzione implicita.
benissimo...quindi non ci ho capito proprio niente
:D:D me lo potreste spiegare senza lettere australopiteche??? xD grazie mille
La risoluzione che ti ho proposto prima è assolutamente elementare e non fa uso del teor. della funzione implicita (basta saper risolvere un'equazione biquadratica, cioè un'equazione di secondo grado nella variabile $t=y^2$).
Quali sono le lettere australopiteche?
Quali sono le lettere australopiteche?
Veramente il nabla od atled [tex]$\nabla$[/tex] è una la lettera greca [tex]$\Delta$[/tex] capovolta e non austrolopiteca! Domanda bonus: da cosa origina il secondo nome? 
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