Teorema fondamentale del calcolo integrale-Omotopie
Scusate ma dato: $ 1/h*int_(0)^(h) f(t) dt$ applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale ottengo che esiste un punto $c$ tale che l'integrale precedente è uguale a $f(c)$ ma essendo c compreso fra $0$ ed $h$ se faccio tendere $h$ a 0, trovo che $c$ è uguale a 0,questo non è un problema?
Risposte
Beh, hai dimostrato che:
[tex]$\lim_{h\to 0} \frac{1}{h}\ \int_0^h f(t)\ \text{d} t =f(0)$[/tex]...
Cosa ti turba?
[tex]$\lim_{h\to 0} \frac{1}{h}\ \int_0^h f(t)\ \text{d} t =f(0)$[/tex]...
Cosa ti turba?
Inanzitutto grazie per la risposta il fatto è che parto da una relazione di questo tipo:
$(g(x+he_{1})-g(x))/h =..$ appunto a quello che ho scritto sopra,sarei rimasto decisamente più contento se una volta fatto il limite avessi ottenuto (a me membro destro,quello dell'integrale) un bel $f(x)$ invece che un $f(0)$, ma forse il problema è che il libro prende come estremi $[0,h]$ e mio parere per far tornare le cose liscie era meglio prenderlo $[x,x+h]$,quindi a questo punto sono indeciso su come portare a termine la dimostrazione.
$(g(x+he_{1})-g(x))/h =..$ appunto a quello che ho scritto sopra,sarei rimasto decisamente più contento se una volta fatto il limite avessi ottenuto (a me membro destro,quello dell'integrale) un bel $f(x)$ invece che un $f(0)$, ma forse il problema è che il libro prende come estremi $[0,h]$ e mio parere per far tornare le cose liscie era meglio prenderlo $[x,x+h]$,quindi a questo punto sono indeciso su come portare a termine la dimostrazione.
"edge":
forse il problema è che il libro prende come estremi $[0,h]$ e mio parere per far tornare le cose liscie era meglio prenderlo $[x,x+h]$
Esatto.
Ma infatti, se [tex]$g(x):=\int_0^x f(t)\ \text{d} t$[/tex], si ha:
[tex]$g(x+h)-g(x)=\int_x^{x+h} f(t)\ \text{d} t$[/tex]
e tutto funziona.
Ma il problema è che sul libro è già scritto :
$(g(x+h)-g(x))/h=int_(0)^(h) f(t) dt$ ,non credo possa cambiare così gli estremi di testa mia..
$(g(x+h)-g(x))/h=int_(0)^(h) f(t) dt$ ,non credo possa cambiare così gli estremi di testa mia..
E allora sul libro sta scritto sbagliato...
Come definisce la [tex]$g(x)$[/tex]? Così dirimiamo subito la questione.
Come definisce la [tex]$g(x)$[/tex]? Così dirimiamo subito la questione.
Posto la cosa per intero:
Siano $x in A$ aperto connesso di $R^n$ ,sia inoltre $h in R$ uno scalare tale che $x+he_{1} in A$ consideriamo allora $f(x+he_{1}) - f(x) =int_(c1) w $ dove $c1$ è il segmento di estremi $x,x+he_{1}$ ,utilizziamo allora una parametrizzazione del segmento:
$x1(t)=x1+t,x2(t)=x2..x_{n}(t)=xn$ $t in [0,h]$ dividendo entrambi i membri per $h$ otteniamo:
$(f(x+h*e1)-f(x))/h=1/h*int_(0)^(h) a_{1}(x1+t,x2...xn)dt $
Siano $x in A$ aperto connesso di $R^n$ ,sia inoltre $h in R$ uno scalare tale che $x+he_{1} in A$ consideriamo allora $f(x+he_{1}) - f(x) =int_(c1) w $ dove $c1$ è il segmento di estremi $x,x+he_{1}$ ,utilizziamo allora una parametrizzazione del segmento:
$x1(t)=x1+t,x2(t)=x2..x_{n}(t)=xn$ $t in [0,h]$ dividendo entrambi i membri per $h$ otteniamo:
$(f(x+h*e1)-f(x))/h=1/h*int_(0)^(h) a_{1}(x1+t,x2...xn)dt $
In tal caso:
[tex]$\lim_{h\to 0} \frac{1}{h}\ \int_0^h a_1(x_1+t,x_2,\ldots ,x_n)\ \text{d} t =a_1(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$[/tex],
che poi è proprio quello che scrivevo nel mio primo post... Direi che abbiamo risolto.
[tex]$\lim_{h\to 0} \frac{1}{h}\ \int_0^h a_1(x_1+t,x_2,\ldots ,x_n)\ \text{d} t =a_1(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$[/tex],
che poi è proprio quello che scrivevo nel mio primo post... Direi che abbiamo risolto.
Ma a me putroppo scritto cosi non mi torna,quell' integrale diviene uguale ad $a_{1}(x_{1}+t*h,x_{2},....x_{n})$?
Un altra domanda sai linkarmi qualcosa in più su :In un dominio a stella ogni curva chiusa e' omotopa ad una curva
costante (con costruzione della deformazione)?Non trovo nulla sul libro .
Un altra domanda sai linkarmi qualcosa in più su :In un dominio a stella ogni curva chiusa e' omotopa ad una curva
costante (con costruzione della deformazione)?Non trovo nulla sul libro .
"edge":Questo è molto semplice, se vuoi te lo posso spiegare io. Supponiamo che $A\subsetRR^n$ sia il dominio stellato in questione, senza perdere in generalità supponiamo che il centro della stella (non mi ricordo se si chiama così di solito, attenzione) sia l'origine. Prendiamo un circuito $gamma: [0, 1]\to A$; affermiamo che questo circuito è $A$-omotopo ad un punto.
In un dominio a stella ogni curva chiusa e' omotopa ad una curva
costante (con costruzione della deformazione)?Non trovo nulla sul libro .
Per dimostrare questo costruiamo la mappa $H(lambda, t)=lambda gamma(t),\ \lambda, t\in [0, 1]$. Chiaramente si tratta di una mappa continua, inoltre $H(0, t)=0,\ \forall t$ e $H(1, t)=gamma(t),\ \forall t$. Resta da dimostrare che $H(lambda, t)\in A,\ \forall \lambda, t$. Ma anche questo è piuttosto semplice, infatti per ipotesi $\forall y \in A$ tutto il segmento di estremi $0, y$ è contenuto in $A$ e quindi $lambda y\in A,\ \forall \lambda\in[0, 1]$. Applicando questo con $y=gamma(t)$ abbiamo la tesi.
Grazie Dissonace,non avendo mai visto una cosa così ho un paio di domande da porti, ma una mappa è un'applicazione lineare?Così hai dimostrato che il circuito $y$ è omotopo al punto $(0,t)$?
"Mappa" è un sinonimo di "applicazione", che a sua volta è sinonimo di "funzione". La tesi della dimostrazione precedente è che il circuito $gamma$ è omotopo al punto $(0, 0, ..., 0)$, assunto come centro dell'insieme stellato $A$ (RIPETO: Non sono sicuro che si dica proprio "centro", controlla sul libro). Nota anche come questo significhi avere dimostrato, in particolare, che ogni insieme stellato è semplicemente connesso.
Scusa l'ignoranza Crassa ma io riesco a trovare solo la definizione di quando una curva è omotopa ad un altra,ma qualè quella per cui una curva è omotopa ad un punto?
Per questo non riesco a capire la tesi del teorema,comunque una volta dimostrato che in un insieme stellato ogni curva chiusa è omotopa ad un punto,se non sbaglio proprio per definizione stessa di insieme sempl.connesso si dimostra che un insieme stellato è semplicemente connesso..Sbaglio?
Per questo non riesco a capire la tesi del teorema,comunque una volta dimostrato che in un insieme stellato ogni curva chiusa è omotopa ad un punto,se non sbaglio proprio per definizione stessa di insieme sempl.connesso si dimostra che un insieme stellato è semplicemente connesso..Sbaglio?
"edge":Anche un punto si può considerare "una curva". Se il punto, come nel nostro caso, è $(0,0,...,0)$, lo si può parametrizzare come $psi(t)=(0,0,..., 0)$ per ogni $t\in[0, 1]$.
Scusa l'ignoranza Crassa ma io riesco a trovare solo la definizione di quando una curva è omotopa ad un altra,ma qualè quella per cui una curva è omotopa ad un punto?
Per questo non riesco a capire la tesi del teorema,comunque una volta dimostrato che in un insieme stellato ogni curva chiusa è omotopa ad un punto,se non sbaglio proprio per definizione stessa di insieme sempl.connesso si dimostra che un insieme stellato è semplicemente connesso..Sbaglio?Non sbagli. Ma ti consiglio di mettere ordine nel tuo bagaglio teorico. Se hai dei dubbi sul concetto di "curva omotopa ad un punto", come pretendi di capire questioni sulla semplice connessione?
Intuitivamente le differenze fra spazi semplicemente connessi,sconnessi,convessi in un punto,convessi le ho chiare.
Questa cosa dell'omotopia all'inizio un pò meno (anzi abbastanza). A questo punto vediamo se ho capito.
Ipotesi : Sia $A$ un insieme stellato
Tesi: Ogni curva chiusa $y$ in esso può essere deformata in un punto.
Dimostrazione:
Indichiamo con $y:[0,1]->A$ una qualsiasi curva in $A$ mentre prendiamo come punto l'origine senza perdere di generalità.
Noi sappiamo che due curve chiuse sono omotope in $A$ se esiste un'applicazione $H:[0,1]X[a,b]->A$ tale che :
$H(0,t)=y_1(t)$ per ogni $t in [a,b]$ 1)
$H(1,t)=y(t)$ per ogni $t in [a,b]$
nel nostro caso $y_1(t)$ è una curva costante ossia il punto origine.
Dunque definiamo $H(c,t)=c*y(t)$,da questo:
$H(0,t)=0$ dunque è verificata la 1)
$H(1,t)=y(t)$ dunque è verificata la 2)
A questo punto ponendo $y=y(t)$ siamo quasi a cavallo,ci manca da dimostrare che la stessa applicazione $H$ ha valori in $A$ .
Osservando che per ipotesi $A$ è stellato allora ogni segmento $y,0$ è contenuto in $A$ con $y$ generico punto di $A$ dunque se moltiplichiamo esso per $0
Ci siamo?
Questa cosa dell'omotopia all'inizio un pò meno (anzi abbastanza). A questo punto vediamo se ho capito.
Ipotesi : Sia $A$ un insieme stellato
Tesi: Ogni curva chiusa $y$ in esso può essere deformata in un punto.
Dimostrazione:
Indichiamo con $y:[0,1]->A$ una qualsiasi curva in $A$ mentre prendiamo come punto l'origine senza perdere di generalità.
Noi sappiamo che due curve chiuse sono omotope in $A$ se esiste un'applicazione $H:[0,1]X[a,b]->A$ tale che :
$H(0,t)=y_1(t)$ per ogni $t in [a,b]$ 1)
$H(1,t)=y(t)$ per ogni $t in [a,b]$
nel nostro caso $y_1(t)$ è una curva costante ossia il punto origine.
Dunque definiamo $H(c,t)=c*y(t)$,da questo:
$H(0,t)=0$ dunque è verificata la 1)
$H(1,t)=y(t)$ dunque è verificata la 2)
A questo punto ponendo $y=y(t)$ siamo quasi a cavallo,ci manca da dimostrare che la stessa applicazione $H$ ha valori in $A$ .
Osservando che per ipotesi $A$ è stellato allora ogni segmento $y,0$ è contenuto in $A$ con $y$ generico punto di $A$ dunque se moltiplichiamo esso per $0
Ci siamo?
Ok la dimostrazione.
Ma "insieme convesso in un punto" non l'ho mai sentito. Sei sicuro che non sia un errore?
Ma "insieme convesso in un punto" non l'ho mai sentito. Sei sicuro che non sia un errore?
Convesso in un punto significa stellato.
Ho cambiato il titolo del topic per coerenza verso la gente che utilizza la funzione cerca.
A questo punto me la sento di fare altre domande,poi se hai voglia rispondi.
1)Il discorso sulla teorema fondamentale del calcolo integrale all'inizio del topic,è rimasto in sospeso ed a me è rimasto il dubbio,non è che potresti chiarirmelo?
2)Il teorema sull'invarianza omotopica dell'integrale per forme chiuse recita che:
L'integrale su $y_1$ e su $y_2$ di $w$ forma chiusa di classe $C^1$, con $y_1,y_2$ curve regolare a tratti resta invariato se i due circuti sono omotopi?
Grazie
Ho cambiato il titolo del topic per coerenza verso la gente che utilizza la funzione cerca.
A questo punto me la sento di fare altre domande,poi se hai voglia rispondi.
1)Il discorso sulla teorema fondamentale del calcolo integrale all'inizio del topic,è rimasto in sospeso ed a me è rimasto il dubbio,non è che potresti chiarirmelo?
2)Il teorema sull'invarianza omotopica dell'integrale per forme chiuse recita che:
L'integrale su $y_1$ e su $y_2$ di $w$ forma chiusa di classe $C^1$, con $y_1,y_2$ curve regolare a tratti resta invariato se i due circuti sono omotopi?
Grazie
1) Miscelare più cose diverse in un unico topic non è una buona idea, si fa rapidamente confusione. Finito questo discorso sull'omotopia, con un quote riprendi l'altro discorso e parla solo di quello.
2) Si. Devi però aggiungere "[tex]\gamma_1, \gamma_2[/tex] curve chiuse regolari a tratti", cosa che del resto penso tu abbia supposto perché nel seguito parli di "circuiti" (un circuito è una curva chiusa). Se le curve non sono chiuse si può ancora parlare di omotopia ma le definizioni devono essere leggermente ritoccate.
2) Si. Devi però aggiungere "[tex]\gamma_1, \gamma_2[/tex] curve chiuse regolari a tratti", cosa che del resto penso tu abbia supposto perché nel seguito parli di "circuiti" (un circuito è una curva chiusa). Se le curve non sono chiuse si può ancora parlare di omotopia ma le definizioni devono essere leggermente ritoccate.
E come cambierebbe excuse moi?
Se le curve non sono chiuse devi aggiungere delle richieste sui punti iniziale e finale, che non devono essere spostati dall'omotopia $H$.
Potresti ripetere?
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