Teorema fondamentale del calcolo integrale
Buon giorno a tutti, questo è il mio primo topic.
Sono uno studente di chimica molecolare a Pisa e sono al secondo anno.Stò ripreparando la parte orale dell'esame di analisi 1.
Qualcuno è in grado di spiegarmi dettagliatamente il teorema fondamentale del calcolo integrale e la dimostrazione?
Sul mio libro (Sassetti) non l'ho capito molto bene, e infatti mi sono stato bocciato alla prima prova orale.
Grazie in anticipo! =)
Sono uno studente di chimica molecolare a Pisa e sono al secondo anno.Stò ripreparando la parte orale dell'esame di analisi 1.
Qualcuno è in grado di spiegarmi dettagliatamente il teorema fondamentale del calcolo integrale e la dimostrazione?
Sul mio libro (Sassetti) non l'ho capito molto bene, e infatti mi sono stato bocciato alla prima prova orale.
Grazie in anticipo! =)
Risposte
intendi questo teorema fondamentale del calcolo integrale? perchè alcuni lo chiamano così altri lo chiamano come "corollario"
dimmi se è questo che intendi
Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale:
$f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ continua
$G(x)$ primitiva di $f$ su $[a,b]\Rightarrow \int_{a}^{b} f(x)dx= G(b)-G(a) $
se è questo la dimostrazione è immediata!
dimmi se è questo che intendi
Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale:
$f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ continua
$G(x)$ primitiva di $f$ su $[a,b]\Rightarrow \int_{a}^{b} f(x)dx= G(b)-G(a) $
se è questo la dimostrazione è immediata!
"21zuclo":
Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale:
$f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ continua
$G(x)$ primitiva di $f$ su $[a,b]\Rightarrow \int_{a}^{b} f(x)dx= G(b)-G(a) $
La continuità non è necessaria...vale per qualunque $f$ integrabile che ammette primitive su $[a,b]$.
Sisi è questo il teorema...=)
Cm si fa la dimostrazione?
grazie
Cm si fa la dimostrazione?
grazie
la dimostrazione del teorema sopra citato è
$F'(x)=f(x), \forall x\in [a,b]$
$F(a)=0$
$F(b)=\int_{a}^{b} f(t)dt=$ \(\displaystyle F(b)-\cancel{F(a)}=G(b)-G(a) \)
nota: $F, G$ differiscono per una costante additiva
$F'(x)=f(x), \forall x\in [a,b]$
$F(a)=0$
$F(b)=\int_{a}^{b} f(t)dt=$ \(\displaystyle F(b)-\cancel{F(a)}=G(b)-G(a) \)
nota: $F, G$ differiscono per una costante additiva
Quella dimostrazione non vuol dire niente.
giammax ma non ce l'hai un libro? E' un teorema che più classico non si potrebbe.
giammax ma non ce l'hai un libro? E' un teorema che più classico non si potrebbe.
Ok, scrivo meglio il tutto, sia il teorema sia la dimostrazione, volevo semplificare
Teorema: sia $f$ continua in $[a,b]$ e sia $\varphi$ una sua primitiva su $[a.b]$. Allora
\[\displaystyle \int_{a}^{b}f=\varphi(b)-\varphi(a) \]
dimostrazione
poiché f è continua in $[a,b]$ la funzione $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ è una primitiva di f in $[a,b]$
Quindi la primitiva $\varphi$ differisce da F per una costante, cioè $\exists c\in\mathbb{R}$ t.c.
\[\displaystyle \varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt+c; \forall x\in[a,b]\]
sostituendo $x=a$, si ottiene $c=\varphi(a)$ e quindi $\forall x\in[a,b]$
\[\displaystyle \varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt+\varphi(a) \]
infine sostituendo $x=b$ si ottiene la tesi.
Teorema: sia $f$ continua in $[a,b]$ e sia $\varphi$ una sua primitiva su $[a.b]$. Allora
\[\displaystyle \int_{a}^{b}f=\varphi(b)-\varphi(a) \]
dimostrazione
poiché f è continua in $[a,b]$ la funzione $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ è una primitiva di f in $[a,b]$
Quindi la primitiva $\varphi$ differisce da F per una costante, cioè $\exists c\in\mathbb{R}$ t.c.
\[\displaystyle \varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt+c; \forall x\in[a,b]\]
sostituendo $x=a$, si ottiene $c=\varphi(a)$ e quindi $\forall x\in[a,b]$
\[\displaystyle \varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt+\varphi(a) \]
infine sostituendo $x=b$ si ottiene la tesi.
A quanto ne so io, questo è un corollario del TFC (tant'è vero che la dimostrazione è una banalità). Il teorema di cui parlate è un altro.
No vabbè ragazzi aspettate che sennò si fa confusione. Il punto è che su queste cose la terminologia è un po' ballerina e lo sono anche enunciati e dimostrazioni. In primis, è vero che si può fare a meno dell'ipotesi di continuità ma si complica inutilmente la trattazione, meglio considerare solo funzioni continue che sono l'oggetto di studio del calcolo classico (Anzi, il calcolo classico considera solo funzioni generalmente regolari, ovvero di classe \(C^\infty\) a tratti). In secundis, qui certi autori distinguono tra formula fondamentale del calcolo integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale per distinguere i due enunciati seguenti (scrivo in modo informale):
[list=1][*:1nek82ai]La funzione integrale
\[x \mapsto \int_a^x f(y)\, dy\]
è derivabile e la sua derivata è \(f(x)\);[/*:m:1nek82ai]
[*:1nek82ai]Detta \(F\) una primitiva di \(f\), vale la formula
\[\int_a^b f(y)\, dy=F(b)-F(a).\][/*:m:1nek82ai][/list:o:1nek82ai]
Una volta dimostrato uno di questi due teoremi l'altro segue facilmente. Inutile dire che, come per tutti i teoremi classici, di dimostrazioni ce ne sono un sacco. Quale di questi due si chiami teorema e quale formula dipende dall'autore. C'è anche chi li chiama primo e secondo teorema fondamentale del calcolo integrale, come c'è anche chi li chiama teorema e corollario, insomma, di tutto.
[list=1][*:1nek82ai]La funzione integrale
\[x \mapsto \int_a^x f(y)\, dy\]
è derivabile e la sua derivata è \(f(x)\);[/*:m:1nek82ai]
[*:1nek82ai]Detta \(F\) una primitiva di \(f\), vale la formula
\[\int_a^b f(y)\, dy=F(b)-F(a).\][/*:m:1nek82ai][/list:o:1nek82ai]
Una volta dimostrato uno di questi due teoremi l'altro segue facilmente. Inutile dire che, come per tutti i teoremi classici, di dimostrazioni ce ne sono un sacco. Quale di questi due si chiami teorema e quale formula dipende dall'autore. C'è anche chi li chiama primo e secondo teorema fondamentale del calcolo integrale, come c'è anche chi li chiama teorema e corollario, insomma, di tutto.
Yo, grande dissonance per la pazienza di un intervento chiarificatore. E' evidente in ogni caso che, a prescindere dalla scelta, il "vero" teorema è quello che non segue facilmente dall'altro, ossia è quello che davvero segna il legame tra integrazione e derivazione. Va da sé che per dimostrarlo bisogna in qualche modo appoggiarsi alla costruzione o alle proprietà dell'integrale di Riemann e che, giammox, piuttosto che chiederne la dimostrazione completa in un forum è meglio se trovi un buon libro e ripassi quando hai dei dubbi più precisi!
io ho diversi testi di analisi matematica e in alcuni quello che ho scritto prima io cioè questo $\int_{a}^{b}f=\varphi(b)-\varphi(a)$, lo enunciano come Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, mentre il mio professore di analisi matematica, lo chiama Corollario del Teorema Fondamentale.. a lezione ci ha detto che lo possiamo chiamare come lo vogliamo proprio perchè dipende dai testi..tipo ci ha pure detto che altri lo chiamano "Teorema di Torricelli-Barrow"..
@dissonance. Condivido pienamente. Io però, oltre a basarmi su fatti di carattere "storico" (ho letto più volte** che il vero e proprio Teorema di Torricelli-Barrow è la (1) ), ho ragionato un po' come yellow, quindi, in un certo senso, mi sono messo dalla parte di chiama teorema la (1) e corollario la (2), sebbene il testo* a cui ho fatto principalmente riferimento attribuisse alla (2) il nome di primo teorema e alla (1) il nome di secondo teorema.
Naturalmente, sono d'accordo quando si dice che chiamarli uno teorema, corollario l'altro, o Ciccio il primo e Franco il secondo, è lo stesso dal punto di vista dei contenuti
_______________________
*uno di quei testi che tu (e, se non ricordo male, anche yellow) odi tanto che "mescola" in maniera "pericolosa" (a mio avviso) integrazione definita e integrazione indefinita.
**in articoli che si occupavano più che altro di Storia della Matematica.
Naturalmente, sono d'accordo quando si dice che chiamarli uno teorema, corollario l'altro, o Ciccio il primo e Franco il secondo, è lo stesso dal punto di vista dei contenuti
_______________________
*uno di quei testi che tu (e, se non ricordo male, anche yellow) odi tanto
che "mescola" in maniera "pericolosa" (a mio avviso) integrazione definita e integrazione indefinita.**in articoli che si occupavano più che altro di Storia della Matematica.
\(\displaystyle \)Grazie intanto per gli interventi. Sul mio libro è scritto così:
integrale da a-->b di f(x) dx= G(b)-G(a) se prendiamo G come primitiva
dimostrazione:
sia P=[xo,x1,x2...xn] un arbitraria partizione dell'intervallo [a,b]
A partire da essa si ha:
G(b)-G(a)= sommatoria da k=1 a n di [G(xk)-G(xk-1)]
i termini della sommatoria si semplificano a due a due, eccetto il primo e l'ultimo.
Questo è uguale a sommatoria da k=1 a n di G'(ξk)deltaxk ecc...
Il passaggio e lo svolgimento della sommatoria non riesco a capirli.
Grazie a tutti e scusate se non ho scritto con le formule,ma ho la connessione ballerina e non mi carica per bene tutto.
integrale da a-->b di f(x) dx= G(b)-G(a) se prendiamo G come primitiva
dimostrazione:
sia P=[xo,x1,x2...xn] un arbitraria partizione dell'intervallo [a,b]
A partire da essa si ha:
G(b)-G(a)= sommatoria da k=1 a n di [G(xk)-G(xk-1)]
i termini della sommatoria si semplificano a due a due, eccetto il primo e l'ultimo.
Questo è uguale a sommatoria da k=1 a n di G'(ξk)deltaxk ecc...
Il passaggio e lo svolgimento della sommatoria non riesco a capirli.
Grazie a tutti e scusate se non ho scritto con le formule,ma ho la connessione ballerina e non mi carica per bene tutto.
esame passato stamani! =)
25 e a casa!! ottimo...grazie a tutti!
25 e a casa!! ottimo...grazie a tutti!
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