Teorema fondamentale del calcolo integrale

[KatieP]

Sul mio testo è riportato il seguente enunciato: sia $f$ continua in $I$. Fissato $x_0$ in $I$ la funzione integrale è una primitiva di $f$. Ora, non viene specificato che $I$ debba essere un compatto, come invece trovo in altri enunciati. Questo perché anche se non siamo in un compatto, la funzione sarà comunque integrabile, visto che sarà quasi ovunque continua secondo PJ? Penso a questo perché se l'intervallo in cui è continua non è un compatto, al più saranno esclusi gli estremi, che formano un insieme di misura nulla. È giusto? E poi perché in alcuni enunciati si specifica che la $f$ deve essere limitata? Se è continua lo sarà sicuramente per Weierstrass..

[dan952]

Per quel che ricordo quando danno l'ipotesi di limitatezza non c'è quella di continuità.

[otta96]

In realtà ti basta che sia continua in un punto per dire che la funzione integrale in quel punto è derivabile e la derivata vale il valore della funzione integranda.

[anto_zoolander]

La funzione integrale è ben definita per funzioni localmente integrabili su un intervallo.
Dunque per ogni intervallo $[a,b]subsetI$ allora $f$ è integrabile su $[a,b]$
Chiusura o meno dell'intervallo, se $f$ per ipotesi è integrabile su $I$ allora è localmente integrabile su $I$