Teorema fondamentale del calcolo integrale

[Usernamer1]

Nell'allegato mi chiedevo se la dimostrazione del teorema è corretta (dimostrazione fatta assumendo f continua)... si pone a circa metà della seconda pagina: $ int_(a)^(b) f(t)dt = H(b) $ ma $ H(x) $ è una primitiva e si vuole proprio dimostrare che $ int_(a)^(b) f(t)dt $ è uguale non a una sua primitiva calcolata in b ma alla differenza tra una sua primitiva calcolata in b e in a...

dimostrazione sbagliata o io non capisco qualcosa?

[Sk_Anonymous]

ciao

se provi a dare un'occhiata qui http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fo ... _integrale

noterai che il teorema si articola in due parti... la prima parte afferma sostanzialmente che la derivata prima della funzione integrale, con f integranda integrabile, è uguale alla funzione integranda calcolata nell'estremo superiore di integrazione.

[Usernamer1]

ok ma a me sembra un serpente che si morde la coda: tale funzione integrale è un primitiva di f. Perciò definiamo l'integrale da a a b come una sua primitiva calcolata in b.
E poi col teorema diciamo che l'integrale da a a b è una sua primitiva in b meno una sua primitiva in a...

cioè l'integrale è contemporaneamente una sua primitiva in b e un'altra sua primitiva quando calcolata in b meno quando calcolata in a?

[Sk_Anonymous]

spero di non dire una cavolata, magari se sbaglio qualcuno potrà intervenire per correggermi.

Il fatto è che è erroneo, secondo me, definire la derivata prima della funzione integrale uguale alla funzione integranda (e basta). Bisogna aggiungere che la f integranda risulti calcolata nell'estremo superiore di integrazione. è questo il vero significato del teorema.

Per fare un esempio: se la funzione integrale fosse composta, si avrebbe ad esempio, posta come variabile $x^2$:

$ (F(x^2))' = f(x^2) $, da cui $ F'(x^2)2x = f(x^2)$ qui notasi l'importanza di "specificare" ..

[dissonance]

"Suv":noterai che il teorema si articola in due parti... la prima parte afferma sostanzialmente che la derivata prima della funzione integrale, con f integranda integrabile, è uguale alla funzione integranda calcolata nell'estremo superiore di integrazione.

Non è proprio così, anche se si capisce cosa vuoi dire. Questo è vero se la funzione integrale è definita con la "x" nell'estremo superiore di integrazione:
\[
F(x)=\int_a^x f(y)\, dy.\]
Se invece definisci la funzione integrale così:
\[
G(x)=\int_x^b f(y)\, dy, \]
allora devi cambiare un segno, eccetera. (Inoltre per fare questi giochetti è essenziale che \(f\) sia continua. Sennò, nei punti in cui non lo è, la funzione integrale potrebbe non essere derivabile, si possono fare esempi facili.)

Comunque queste sono tutte cosette che non rispondono alla domanda dell'OP.

@Usernamer: i tuoi appunti hanno *definito* una funzione \(H\):
\[\tag{1}
H\colon x\mapsto \int_a^x f(y)\, dy.\]
A priori su di essa non sai nulla. Senonché interviene il teorema che dice Suv, secondo il quale \(H\) è *una* primitiva di \(f\). Ora interviene l'altro teorema, secondo cui due primitive della stessa funzione definita su un intervallo differiscono per una costante. Si ottiene così la relazione \(H(x)=F(x)+K\). A questo punto uno ha voglia di calcolare \(H(b)\). Per farlo, torna alla formula (1) e ottiene così \(H(b)=\int_a^b f(y)\, dy\). Eccetera eccetera.