Teorema differenziale totale.. dubbi sul suo uso..
Ciao a tutti, mi sto un po' rivedendo un po' di cose sul differenziale che abbiamo affrontato sia a lezione che ad esercitazione. Però ho un dubbio sul differenziale totale, sul suo uso e non uso. Aiutatemi per favore.
il teorema enunciato a lezione e sul libro è il seguente
Teorema:Sia $ f:\Omega sube \mathbb{R^n}\to RR, ula \in \Omega $. Supponiamo che esista un intorno U di $ul a$ tale che in ogni $ul x\in U$ esistano le derivate parziali $ f_(x_j)(\ul x) $ e siano continue nel punto $ul a, \forall j=1,...,n$. Allora f è differenziabile in $ul(a)$
poi so benissimo la definizione di differenziabilità, una funzione è differenziabile se
$ \lim_((h,k)\to (0,0)) (f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-f_(x)(x_0,y_0)h-f_(y)(x_0,y_0)k)/(\sqrt{h^2+k^2})=0 $
Però la mia domanda è, quando devo usare la definizione?
E quando devo usare il teorema, e poi per il teorema devo fare qualche limite per vedere se vi un intorno nel punto che sia contenuto?
Tipo su un eserciziario e poi anche l'esercitatore in aula, in una funzione definita a tratti, per studiare la differenziabilità si è messo ad usare la definizione
Mentre su un eserciziario
per questa funzione.. $f(x,y)=\ln(4-x^2-2y^2)$, bisogna calcolare la derivata direzionale,
nella direzione $ ul(v)=(((-1)/(\sqrt{2})),((1)/(\sqrt{2}))) $ e nel punto $ P=((1),(1)) $
allora io mi stavo calcolando le derivate parziali e tutto quanto per fare il limitone, ma invece la soluzione usa il teorema del differenziale totale.
Dunque non mi è chiaro quando deve essere usato, e se di deve fare qualche limite, nel teorema del differenziale totale
il teorema enunciato a lezione e sul libro è il seguente
Teorema:Sia $ f:\Omega sube \mathbb{R^n}\to RR, ula \in \Omega $. Supponiamo che esista un intorno U di $ul a$ tale che in ogni $ul x\in U$ esistano le derivate parziali $ f_(x_j)(\ul x) $ e siano continue nel punto $ul a, \forall j=1,...,n$. Allora f è differenziabile in $ul(a)$
poi so benissimo la definizione di differenziabilità, una funzione è differenziabile se
$ \lim_((h,k)\to (0,0)) (f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-f_(x)(x_0,y_0)h-f_(y)(x_0,y_0)k)/(\sqrt{h^2+k^2})=0 $
Però la mia domanda è, quando devo usare la definizione?
E quando devo usare il teorema, e poi per il teorema devo fare qualche limite per vedere se vi un intorno nel punto che sia contenuto?
Tipo su un eserciziario e poi anche l'esercitatore in aula, in una funzione definita a tratti, per studiare la differenziabilità si è messo ad usare la definizione
Mentre su un eserciziario
per questa funzione.. $f(x,y)=\ln(4-x^2-2y^2)$, bisogna calcolare la derivata direzionale,
nella direzione $ ul(v)=(((-1)/(\sqrt{2})),((1)/(\sqrt{2}))) $ e nel punto $ P=((1),(1)) $
allora io mi stavo calcolando le derivate parziali e tutto quanto per fare il limitone, ma invece la soluzione usa il teorema del differenziale totale.
Dunque non mi è chiaro quando deve essere usato, e se di deve fare qualche limite, nel teorema del differenziale totale
Risposte
Il teorema del differenziale totale lo si applica in genere quando hai applicazioni di classe $ C^1 $ ed è sufficiente per la differenziabilità.
La condizione sulla classe è però non necessaria per la differenziabilità.
Una condizione necessaria per la differenziabilità è però la continuità.
Quindi direi di applicare la definizione quando hai delle funzioni di classe $C^0$ che non siano di classe $C^1$
Per la questione degli intorni osserva che è:
assegnata $ f:A->R $ e y di accumulazione per $A$.
$ lim f=l $ quando x tende a y se e solo se esiste un intorno $U(y)$ di y tale che la restrizione della funzione a
$ U(y)nn A-y $ tende a l al tendere di x a y
In altre parole la ricerca del limite di una funzione è una questione locale.
Poi se la funzione è differenziabile in punto interno certamente (condizione sufficiente) esistono tutte le derivate
direzionali.
Ciao Mino
La condizione sulla classe è però non necessaria per la differenziabilità.
Una condizione necessaria per la differenziabilità è però la continuità.
Quindi direi di applicare la definizione quando hai delle funzioni di classe $C^0$ che non siano di classe $C^1$
Per la questione degli intorni osserva che è:
assegnata $ f:A->R $ e y di accumulazione per $A$.
$ lim f=l $ quando x tende a y se e solo se esiste un intorno $U(y)$ di y tale che la restrizione della funzione a
$ U(y)nn A-y $ tende a l al tendere di x a y
In altre parole la ricerca del limite di una funzione è una questione locale.
Poi se la funzione è differenziabile in punto interno certamente (condizione sufficiente) esistono tutte le derivate
direzionali.
Ciao Mino
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