Teorema di Weierstrass

[Principe2]

è un risultato ormai di un secolo e mezzo fa che ogni funzione a valori reali definita in $[0,1]$ si può approssimare tramite polinomi. (teorema di Weierstrass, anche se molti lo chiamano di Stone-Weierstrass, senza sapere che Stone ha mostrato cinquant'anni dopo una sua generalizzazione: sia $X$ compatto di Hausdorff, ogni *-sottoalgebra $A$ di $C(X)$ che contiene l'identità e che ne separa i punti (se $x\ney$, allora esiste $f\inA$ tale che $f(x)\nef(y)$) è densa in $C(X)$. Questo è il teorema di Stone-Weierstrass).
Va bene... bando alle ciance:
mostrare, possibilmente in maniera veloce, la seguente versione molto più debole del teorema di Weierstrass: per ogni funzione continua in $[0,1]$ esiste un polinomio che vi dista (in norma) meno di $1$.

[gugo82]

"ubermensch":è un risultato ormai di un secolo e mezzo fa che ogni funzione a valori reali definita in $[0,1]$ si può approssimare uniformemente tramite polinomi [...].
Va bene... bando alle ciance:
mostrare, possibilmente in maniera veloce, la seguente versione molto più debole del teorema di Weierstrass: per ogni funzione continua in $[0,1]$ esiste un polinomio che vi dista (in norma) meno di $1$.

La metrica è quella canonica di $C([0,1])$, ossia quella della convergenza uniforme: $||f||_{oo}=max_{x in [0,1]} |f(x)|$.

[Principe2]

certo

[Principe2]

credo che non sia affatto banale... nel senso che credo che riuscire a dimostrare che esistono polinomi a distanza minore di 1 equivale a dim che ne esistono a distanza minore di $\varepsilon$ ... cosa vera, ma non banale.