Teorema di Weierstrass
f:[a,b], continua ==> f ammette max e minimo assoluto
lo devo dimostrare per funzioni di 1 variabile. La dimostrazione utilizza le successioni. Se qualcuno la conosce può darmi una mano? Non la trascrivo.. mi servirebbero i passaggi commentati.
La dimostrazione del mio libro comincia prima col dimostrare che f è limitata, con le successioni. Suppone per assurdo che non sia limitata inferiormente ecc... non ho tempo per trascriverla perché è lunga.. comunque se qualcuno mi ''assicura'' che me la commenta la potrei pure scrivere.
grazie ciao
p.s: solo nella mia università ad Ingegneria si dimostra suddetto teorema O_O
lo devo dimostrare per funzioni di 1 variabile. La dimostrazione utilizza le successioni. Se qualcuno la conosce può darmi una mano? Non la trascrivo.. mi servirebbero i passaggi commentati.
La dimostrazione del mio libro comincia prima col dimostrare che f è limitata, con le successioni. Suppone per assurdo che non sia limitata inferiormente ecc... non ho tempo per trascriverla perché è lunga.. comunque se qualcuno mi ''assicura'' che me la commenta la potrei pure scrivere.
grazie ciao
p.s: solo nella mia università ad Ingegneria si dimostra suddetto teorema O_O
Risposte
Non è vero, l'ho stuiato anch'io, però la dimostrazione non la ricordo in dettaglio, credo che sul mio testo la si ottenesse a partire da quella del teo degli zeri...
dunque sperando che qualcuno si prende la briga di commentarla, io la riporto sotto pari pari a come è scritta sul libro. Metterò un (perchè??????) dove non mi sono chiari i passaggi.
TEOREMA DI WEIERSTRASS:
ipotesi: f:[a,b] compatto(chiuso e limitato)
tesi: f ammette max e min assoluto.
dimostrazione: Facciamo dapprima vedere che f è limitata. Supponiamo per assurdo che f non sia limitata inferiormente, quindi f non ha minoranti, per cui:
PER OGNI n >0, ESISTE x_n APPARTENENTE [a,b] : f(x_n) < -n
La successione (x_n) | n APPARTIENE a N così ottenuta è limitata (perché?????), quindi conterrà una successione estratta convergente a un punto x_0 APPARTENENTE [a,b] (che teorema si è usato??????) . Per la continuità di f, risulta anche che:
lim di n_k f(x_nk) = f(x_0).
D'altro canto:
PER OGNI n, f(x_n) <-n e in particolare f(x_nk) < -n_k.
Ma -n_k tende a -infinito, perchè n_k è una successione strettamente crescente di numeri interi (è strettamente crescente perchè è l'estratta?), quindi è regolare e cioè o converge o diverge. Non può convergere in quanto (n_k) non è limitata (non è limitata perchè?) ed è formata da infiniti numeri interi distinti tra loro. Allora per il teorema del confronto dev'essere f(x_nk) --> -infinito (????). Questo è assurdo. Infatti la successione f(x_nk) dovrebbe contemporaneamente convergere e divergere (????). L'assurdo nasce dall'aver supposto che f non sia limitata inferiormente. Lo stesso ragionamento si può ripetere supponendo f non limitata superiormente. Pertantto possiamo dire che f è limitata. Allora ammettera' estremo superiore ed estremo inferiore finiti.
Sia m= inf f(x) con x APPARTENENTE [a,b]. Valgono le seguenti proprietà:
1) PER OGNI x APPARTENENTE [a,b], f(x) >= m;
2) PER OGNI epsilon >0, ESISTE x APPARTENENTE [a,b]: f(x) < m + epsilon.
Prendiamo epsilon = 1/n con n APPARTENENTE ad N. Allora per la proprietà 2 si ha:
3) ESISTE x_n APPARTENENTE [a,b]: f(x_n) < m + 1/n
Ripetendo il discorso PER OGNI n APPARTENENTE N, costruiamo una successione (x_n)nk contenuta in [a,b]. Essendo (x_n) con n APPARTENENTE N limitata, ci sarà una successione estratta convergente (x_nk) k APPARTENENTE N verso un punto x_0 APPARTENENTE [a,b] e si avrà:
f(x_nk) ---> f(x_0)
Per la disuguaglianza (3) avremo anche
m <= f(x_nk) < m + 1/n_k
Facendo tendere k all'infinito si avrà
n_k --> + infinito ==> 1/n_k-->0 ==> m + 1/n_k --> 0
è quindi:
f(x_nk) --> m e contemporaneamente f(x_nk) ---> f(x_0)
Per l'unicità del limite è f(x_0) = m.
Allora m che era l'estremo inferiore di f, essendo un valore della funzione, è proprio il minimo di f in [a,b].
Analogamente si dimostra che f è dotata di max in [a,b]
FINE DIMOSTRAZIONE
Il famoso TEOREMA PONTE dov'è che si è usato?
ciao
TEOREMA DI WEIERSTRASS:
ipotesi: f:[a,b] compatto(chiuso e limitato)
tesi: f ammette max e min assoluto.
dimostrazione: Facciamo dapprima vedere che f è limitata. Supponiamo per assurdo che f non sia limitata inferiormente, quindi f non ha minoranti, per cui:
PER OGNI n >0, ESISTE x_n APPARTENENTE [a,b] : f(x_n) < -n
La successione (x_n) | n APPARTIENE a N così ottenuta è limitata (perché?????), quindi conterrà una successione estratta convergente a un punto x_0 APPARTENENTE [a,b] (che teorema si è usato??????) . Per la continuità di f, risulta anche che:
lim di n_k f(x_nk) = f(x_0).
D'altro canto:
PER OGNI n, f(x_n) <-n e in particolare f(x_nk) < -n_k.
Ma -n_k tende a -infinito, perchè n_k è una successione strettamente crescente di numeri interi (è strettamente crescente perchè è l'estratta?), quindi è regolare e cioè o converge o diverge. Non può convergere in quanto (n_k) non è limitata (non è limitata perchè?) ed è formata da infiniti numeri interi distinti tra loro. Allora per il teorema del confronto dev'essere f(x_nk) --> -infinito (????). Questo è assurdo. Infatti la successione f(x_nk) dovrebbe contemporaneamente convergere e divergere (????). L'assurdo nasce dall'aver supposto che f non sia limitata inferiormente. Lo stesso ragionamento si può ripetere supponendo f non limitata superiormente. Pertantto possiamo dire che f è limitata. Allora ammettera' estremo superiore ed estremo inferiore finiti.
Sia m= inf f(x) con x APPARTENENTE [a,b]. Valgono le seguenti proprietà:
1) PER OGNI x APPARTENENTE [a,b], f(x) >= m;
2) PER OGNI epsilon >0, ESISTE x APPARTENENTE [a,b]: f(x) < m + epsilon.
Prendiamo epsilon = 1/n con n APPARTENENTE ad N. Allora per la proprietà 2 si ha:
3) ESISTE x_n APPARTENENTE [a,b]: f(x_n) < m + 1/n
Ripetendo il discorso PER OGNI n APPARTENENTE N, costruiamo una successione (x_n)nk contenuta in [a,b]. Essendo (x_n) con n APPARTENENTE N limitata, ci sarà una successione estratta convergente (x_nk) k APPARTENENTE N verso un punto x_0 APPARTENENTE [a,b] e si avrà:
f(x_nk) ---> f(x_0)
Per la disuguaglianza (3) avremo anche
m <= f(x_nk) < m + 1/n_k
Facendo tendere k all'infinito si avrà
n_k --> + infinito ==> 1/n_k-->0 ==> m + 1/n_k --> 0
è quindi:
f(x_nk) --> m e contemporaneamente f(x_nk) ---> f(x_0)
Per l'unicità del limite è f(x_0) = m.
Allora m che era l'estremo inferiore di f, essendo un valore della funzione, è proprio il minimo di f in [a,b].
Analogamente si dimostra che f è dotata di max in [a,b]
FINE DIMOSTRAZIONE
Il famoso TEOREMA PONTE dov'è che si è usato?
ciao
Rispondo in ordine:
1) x_n e' limitata poiche' e' interamente contenuta in [a.b].
2) Da 1) x_n ha estratta convergente per Bolzano-Weierstrass.
3) n_k e' la successione di indici estratti, ed e' quindi crescente a +infinito. -nk decresce quindi a -infinito.
E quindi si ha l'assurdo f(x_0)=-infinito.
Il resto e' chiaro: ha costruito una successione minimizzante e ha fatto vedere, grazie alla compattezza di [a,b], che essa converge (ad un punto di minimo).
Luca.
P.S. Non conosco il Teorema ponte.
1) x_n e' limitata poiche' e' interamente contenuta in [a.b].
2) Da 1) x_n ha estratta convergente per Bolzano-Weierstrass.
3) n_k e' la successione di indici estratti, ed e' quindi crescente a +infinito. -nk decresce quindi a -infinito.
E quindi si ha l'assurdo f(x_0)=-infinito.
Il resto e' chiaro: ha costruito una successione minimizzante e ha fatto vedere, grazie alla compattezza di [a,b], che essa converge (ad un punto di minimo).
Luca.
P.S. Non conosco il Teorema ponte.
Bolzano-weierstrass che dice?
Il Teorema di Bolzano-Weierstrass afferma che una successione limitata di numeri reali ammette un'estratta convergente.
Luca.
Luca.
x Luca77: ok ora mi è tutto chiaro ma questa parte:
Per la disuguaglianza (3) avremo anche
m <= f(x_nk) < m + 1/n_k
Facendo tendere k all'infinito si avrà
n_k --> + infinito ==> 1/n_k-->0 ==> m + 1/n_k --> 0
soprattutto il pezzo in grassetto che indica? mi pare di capire che m + 1/n_k tende interamente a 0.... come si conclude che f(x_nk) --> m?
il resto è chiaro
grazie ciao
Per la disuguaglianza (3) avremo anche
m <= f(x_nk) < m + 1/n_k
Facendo tendere k all'infinito si avrà
n_k --> + infinito ==> 1/n_k-->0 ==> m + 1/n_k --> 0
soprattutto il pezzo in grassetto che indica? mi pare di capire che m + 1/n_k tende interamente a 0.... come si conclude che f(x_nk) --> m?
il resto è chiaro
grazie ciao
C'e' un errore; m +1/n_k tende a m e non a zero. Allora, per il Teorema del confronto, anche f(x_n_k) tende a m.
Luca.
Luca.
scusa si ha che
m<=f(x_nk)
:\
m<=f(x_nk)
:\
m <= f(x_n_k) <= m + 1/n_k. Ora m tende a m, e m + 1/n_k tende a m. Per il Teorema del confronto per limiti (altrimenti noto come Teorema dei due carabinieri) anche f(x_n_k) tende a m.
Luca.
Luca.
ok sì ora ci siamo...
per quanto riguarda il teorema degli zeri.. lo dimostra prima considerando la semiampiezza dell'intervallo.. e poi andando avanti di questo passo. se non lo trova così lo zero si costruisce un insieme di successioni ecc ti è nota questa dim? ho un dubbio anche su questa alla fine.. se ti è nota scrivo i passaggi altrimenti è inutile che perda tempo.
grazie ciao
p.s: esame mercoledì poi mi levo dai cojoni:)
per quanto riguarda il teorema degli zeri.. lo dimostra prima considerando la semiampiezza dell'intervallo.. e poi andando avanti di questo passo. se non lo trova così lo zero si costruisce un insieme di successioni ecc ti è nota questa dim? ho un dubbio anche su questa alla fine.. se ti è nota scrivo i passaggi altrimenti è inutile che perda tempo.
grazie ciao
p.s: esame mercoledì poi mi levo dai cojoni:)
Il ps potevi evitarlo, noi siamo qui appositamente per aiutare chi e' in difficolta'.
Quanto alla dimostrazione alternativa, si' la conosco, e' un metodo costruttivo per determinare uno zero con l'approssimazione voluta. Se vuoi e' un primo esempio di metodo numerico per la risoluzione di equazioni della forma f(x)=0, con x reale.
Luca.
Quanto alla dimostrazione alternativa, si' la conosco, e' un metodo costruttivo per determinare uno zero con l'approssimazione voluta. Se vuoi e' un primo esempio di metodo numerico per la risoluzione di equazioni della forma f(x)=0, con x reale.
Luca.
si dunque:
th degli zeri:
f.[a,b] -->R
continua ivi
f(a)*f(b)<0
tesi: esiste almeno un punto C : f(c) =0 in ]a,b[
allora per non scrivere tutto ma solo ciò che nn capisco lui fa questo ragionamento.
Considera un intervallo [a,b] ove la funzione assume valori di segno oposto agli estremi (come da ipotesi), poi considera la semiampiezza di questo intervallo c= (b-a)/2... ora se f(c)=0 la tesi è verificata ed è finito.
Altrimenti f(c) !=0 quindi f(c) o è maggiore di zero oppure è minore di zero. Dei due intervallini rimasti se scagliamo [a,c] la f.ne in c è<0 (per rispettare l'ipotesti che assume valori di segno opposto agli estremi. Dunque consideriamo la semiampiezza c1= (c-a)/2 ... se f(c1)=0 il teorema è finito... altrimenti...così procedendo si arriva a due casi possibili:
1) di questo passo troviamo un punto c_n, punto medio dell'intervallo [a_n,b_n] in cui la f.ne si annulla dunque la tesi è dimostrata.
altrimenti: (quì è poso chiaro).. metto in grassetto i passaggi oscuri.
Cito testualmente:
si determina una successione di intervalli [a_n,b_n] tale che
b1) a_n <= a_(n+1) < b_(n+1)
b2) f(a_n) >0 e f(b_n)<0;
b3) 0< b_n-a_n = (b-a)/2^n;
dalla b1 si capische che la succ a_n è crescente e limitata sup.te mentre la succ b_n è descrescente e limitata inf.te. Per la b3 risulta
nel passaggio quì sotto il limite lo facciamo noi arbitrariamente? è lecito passare così al limite? perchè?
0<= lim (b_n - a_n)= lim (b-a)/2^n= (b-a) * lim 1/2^n= (b-a) * 0 = 0
e quindi
lim a_n=limb_n=c
dalla b1 segue che
f(c)= lim f(a_n) =>0 e f(c) = lim f(b_n) <=0
da cui f(c)=0 e quì la tesi.
quest'ultima parte ''dalla b1 segue: ecc'' proprio non mi è chiaro quali passaggi salta.
Ah, altra cosa, il th della media integrale .. quello che esiste un punto c: l'integrale da a_b di f(x)dx = f(c)(b-a) ha una dimostrazione semplice che si fa in due righe? potresti postarmela se è così? a me pare che il prof la fece subito in due righe però nn l'ho scritta proprio per bene
ciao ciao grazie
th degli zeri:
f.[a,b] -->R
continua ivi
f(a)*f(b)<0
tesi: esiste almeno un punto C : f(c) =0 in ]a,b[
allora per non scrivere tutto ma solo ciò che nn capisco lui fa questo ragionamento.
Considera un intervallo [a,b] ove la funzione assume valori di segno oposto agli estremi (come da ipotesi), poi considera la semiampiezza di questo intervallo c= (b-a)/2... ora se f(c)=0 la tesi è verificata ed è finito.
Altrimenti f(c) !=0 quindi f(c) o è maggiore di zero oppure è minore di zero. Dei due intervallini rimasti se scagliamo [a,c] la f.ne in c è<0 (per rispettare l'ipotesti che assume valori di segno opposto agli estremi. Dunque consideriamo la semiampiezza c1= (c-a)/2 ... se f(c1)=0 il teorema è finito... altrimenti...così procedendo si arriva a due casi possibili:
1) di questo passo troviamo un punto c_n, punto medio dell'intervallo [a_n,b_n] in cui la f.ne si annulla dunque la tesi è dimostrata.
altrimenti: (quì è poso chiaro).. metto in grassetto i passaggi oscuri.
Cito testualmente:
si determina una successione di intervalli [a_n,b_n] tale che
b1) a_n <= a_(n+1) < b_(n+1)
b2) f(a_n) >0 e f(b_n)<0;
b3) 0< b_n-a_n = (b-a)/2^n;
dalla b1 si capische che la succ a_n è crescente e limitata sup.te mentre la succ b_n è descrescente e limitata inf.te. Per la b3 risulta
nel passaggio quì sotto il limite lo facciamo noi arbitrariamente? è lecito passare così al limite? perchè?
0<= lim (b_n - a_n)= lim (b-a)/2^n= (b-a) * lim 1/2^n= (b-a) * 0 = 0
e quindi
lim a_n=limb_n=c
dalla b1 segue che
f(c)= lim f(a_n) =>0 e f(c) = lim f(b_n) <=0
da cui f(c)=0 e quì la tesi.
quest'ultima parte ''dalla b1 segue: ecc'' proprio non mi è chiaro quali passaggi salta.
Ah, altra cosa, il th della media integrale .. quello che esiste un punto c: l'integrale da a_b di f(x)dx = f(c)(b-a) ha una dimostrazione semplice che si fa in due righe? potresti postarmela se è così? a me pare che il prof la fece subito in due righe però nn l'ho scritta proprio per bene
ciao ciao grazie
Allora, anzitutto devi ricordare che il passaggio al limite e' monotono, ovvero se a_n e' minore di b_n, allora la stessa disuguaglianza vale per i limiti (tranne il fatto che se era stretta diventa comunque larga). Se quindi passi al limite nella b3) hai, ancora per il Teorema del confronto, che a_n-b_n tende a 0. Dunque a_n e b_n convergono ad un certo c. Passando poi al limite nelle b2) (usando sempre la monotonia del passaggio al limite) ottieni da una parte f(c)>=0, e dall'altra f(c)<=0. Dunque f(c)=0. Non mi pare salti alcun passaggio (tranne forse dire che usa la continuita' di f in questi ultimi due passaggi al limite).
Quanto al Teorema della media integrale, lo dimostri rapidamente in questo modo. Anzitutto f e' continua in [a,b] per ipotesi; denoto con I il suo integrale tra a e b, con M il max di f in [a,b], e con m il min di f in [a,b]. Allora m <= I/|a-b| <= M. Per il Teorema dei valori intermedi, f assume tutti i valori dell'intervallo [m,M]; quindi esiste x in (a,b) tale che I/|a-b|=f(x), da cui la tesi.
Luca.
Quanto al Teorema della media integrale, lo dimostri rapidamente in questo modo. Anzitutto f e' continua in [a,b] per ipotesi; denoto con I il suo integrale tra a e b, con M il max di f in [a,b], e con m il min di f in [a,b]. Allora m <= I/|a-b| <= M. Per il Teorema dei valori intermedi, f assume tutti i valori dell'intervallo [m,M]; quindi esiste x in (a,b) tale che I/|a-b|=f(x), da cui la tesi.
Luca.
ecco il problema è che lui la b2 la definisce solo.. non la usa in seguito.. il passaggio al limite finale si riferisce alla b1 quando fa
dalla b1 segue che
f(c)= lim f(a_n) =>0 e f(c) = lim f(b_n) <=0
da cui f(c)=0 e quì la tesi.
non cita mai la b2... e poi nella b2 la disuguaglianze sono strette f(a_n)>0 ... alla fine usa le disuguaglianze con l' =.
Quindi il passo finale è ricavato dalla b1), a meno di errori di stampa del testo. ecco che non capisco come salta fuori
dalla b1 segue che
f(c)= lim f(a_n) =>0 e f(c) = lim f(b_n) <=0
da cui f(c)=0 e quì la tesi.
non cita mai la b2... e poi nella b2 la disuguaglianze sono strette f(a_n)>0 ... alla fine usa le disuguaglianze con l' =.
Quindi il passo finale è ricavato dalla b1), a meno di errori di stampa del testo. ecco che non capisco come salta fuori
Tutto a posto, allora? Non capisco se hai capito come usa le b2) o no...
Luca.
Luca.
ti ripeto che le b2 non le usa.. nel passaggio finale che ho messo in grassetto usa la b1
Ah, allora avevo capito bene, non hai capito!
Le disuguaglianze b2) sono quelle fondamentali e usa proprio quelle. Ritorna a vedere quello che ho scritto, gli ultimi due passaggi al limite li fai nelle b2), da cui concludi f(c)=0.
Luca.
Le disuguaglianze b2) sono quelle fondamentali e usa proprio quelle. Ritorna a vedere quello che ho scritto, gli ultimi due passaggi al limite li fai nelle b2), da cui concludi f(c)=0.
Luca.
Ti riassumo un attimo, voglio essere il piu' chiaro possibile:
1) la b1) ti dice che a_n e b_n convergono.
2) la b3) ti dice che a_n e b_n convergono ad uno stesso c.
3) le b2) ti dicono che f(c)=0.
Luca.
1) la b1) ti dice che a_n e b_n convergono.
2) la b3) ti dice che a_n e b_n convergono ad uno stesso c.
3) le b2) ti dicono che f(c)=0.
Luca.
il punto è che lui con la b1 mi da la tesi... nn dice ''dalla b2 viene la tesi'' ok?? E nella b2 le disuguaglianze sono ''strette'' non larghe'' dunque l' = non c'è proprio (?)
Se passi al limite in una disuguaglianza stretta, essa, al limite, diventa larga. Esempio: se
f(a_n)>0, a_n tende a c e f e' continua, allora, passando al limite, f(c)>=0.
Sono le b2) che ti permettono di concludere, che il tuo prof. l'abbia detto o no.
Luca.
f(a_n)>0, a_n tende a c e f e' continua, allora, passando al limite, f(c)>=0.
Sono le b2) che ti permettono di concludere, che il tuo prof. l'abbia detto o no.
Luca.
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