Teorema di Taylor

[anto_zoolander]

motivato da questa[nota]Formula di Taylor per funzioni di una variabile[/nota] lettura ho deciso di dimostrare la classica uguaglianza con il resto di Peano senza utilizzare De l'Hopital

Sia $f$ una funzione derivabile $n$ volte in $(a,b)$ e $f^((n))$ continua in $x_0 in (a,b)$, allora

$f(x)=sum_(k=0)^(n)(f^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k+o(x-x_0)^n$

dimostrazione

Consideriamo $varphi(x)=f(x)-sum_(k=0)^(n)(f^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k$

Dal teorema relativo al resto di Lagrange;

$forallx in (a,b) exists xi in (a,b)(abs(xi-x_0)leqabs(x-x_0)): f(x)-sum_(k=0)^(n-1)(f^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k=(f^((n))(xi))/(n!)(x-x_0)^n$

ossia $varphi(x)=(f^((n))(xi)-f^((n))(x_0))/(n!)(x-x_0)^n => abs((varphi(x))/(x-x_0)^n)=abs((f^((n))(xi)-f^((n))(x_0))/(n!)), x ne x_0$ $(star)$

Quindi dato $epsilon>0$ esiste un $delta>0$ per cui vale

$forallx in (a,b) (0 abs(f^((n))(x)-f^((n))(x_0))

se $0
questo implica che

$abs((varphi(x))/(x-x_0)^n)=abs(f^((n))(xi)-f^((n))(x_0))/(n!)<(epsilon n!)/(n!)=epsilon$

può aver senso?

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Risposte

dissonance

23 ago 2019, 09:21

Quindi tu stai assumendo che la formula col resto di Lagrange è vera e vuoi da lì dimostrare la formula col resto di Peano, se capisco bene (dovresti specificarlo). Quello che fai va bene, ma è una cosa banale, si potrebbe fare in una riga. La parte interessante del teorema di Taylor è proprio dimostrare la formula con il resto di Lagrange, oppure con il resto integrale, o con qualunque altro resto ma partendo dal niente.

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anto_zoolander

23 ago 2019, 16:15

Ciao Peppe

Il resto di Lagrange è abbastanza facile da ottenere; basta applicare Cauchy a due opportune funzioni[nota]$varphi(t)=f(x)-sum_(k=0)^(n)(f^((k))(t))/(k!)(x-t)^k$ e $omega(t)=(x-t)^(n+1)$[/nota]
Ho solo avuto il presentimento che sotto queste ipotesi

resto integrale => resto Lagrange => resto peano

la prima implicazione l'ho letta su un tuo vecchio post

PS: come la faresti in una riga?

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dissonance

26 ago 2019, 08:29

"anto_zoolander":

resto integrale => resto Lagrange => resto peano

Esatto.

Per dimostrare la seconda implicazione in una riga basta osservare che, siccome per ipotesi la funzione \(f^{(n+1)}\) è continua, essa è limitata in un intorno di \(x_0\), perciò
\[
f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^n=O((x-x_0)^{n+1}),\]
e si ottiene subito il resto di Peano con gli O grandi. Che poi è quello che hai fatto tu, solo detto più sbrigativamente.

Si tratta di una cosa tecnica, non è un fatto profondo.

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anto_zoolander

27 ago 2019, 04:09

Perfetto! Insomma ci sono tanti modi di esprimere il resto a quanto pare.

La formula di Taylor mi è sempre piaciuta ma non ho auto molto tempo per approfondirla; a calci e morsi ora sto tirando fuori un po’ di tempo per farlo

[ot]ma quando vieni a Palermo? [/ot]

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dissonance

9 set 2019, 15:59

Sono a Palermo proprio in questi giorni, vengo da Erice, sono stato al centro Maiorana. Palermo è una meraviglia, qui sono felice, e voi siciliani siete un popolo che mi piace moltissimo

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[dissonance]

Quindi tu stai assumendo che la formula col resto di Lagrange è vera e vuoi da lì dimostrare la formula col resto di Peano, se capisco bene (dovresti specificarlo). Quello che fai va bene, ma è una cosa banale, si potrebbe fare in una riga. La parte interessante del teorema di Taylor è proprio dimostrare la formula con il resto di Lagrange, oppure con il resto integrale, o con qualunque altro resto ma partendo dal niente.

[anto_zoolander]

Ciao Peppe

Il resto di Lagrange è abbastanza facile da ottenere; basta applicare Cauchy a due opportune funzioni[nota]$varphi(t)=f(x)-sum_(k=0)^(n)(f^((k))(t))/(k!)(x-t)^k$ e $omega(t)=(x-t)^(n+1)$[/nota]
Ho solo avuto il presentimento che sotto queste ipotesi

resto integrale => resto Lagrange => resto peano

la prima implicazione l'ho letta su un tuo vecchio post

PS: come la faresti in una riga?

[dissonance]

"anto_zoolander":

resto integrale => resto Lagrange => resto peano

Esatto.

Per dimostrare la seconda implicazione in una riga basta osservare che, siccome per ipotesi la funzione \(f^{(n+1)}\) è continua, essa è limitata in un intorno di \(x_0\), perciò
\[
f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^n=O((x-x_0)^{n+1}),\]
e si ottiene subito il resto di Peano con gli O grandi. Che poi è quello che hai fatto tu, solo detto più sbrigativamente.

Si tratta di una cosa tecnica, non è un fatto profondo.

[anto_zoolander]

Perfetto! Insomma ci sono tanti modi di esprimere il resto a quanto pare.

La formula di Taylor mi è sempre piaciuta ma non ho auto molto tempo per approfondirla; a calci e morsi ora sto tirando fuori un po’ di tempo per farlo

[ot]ma quando vieni a Palermo? [/ot]

[dissonance]

Sono a Palermo proprio in questi giorni, vengo da Erice, sono stato al centro Maiorana. Palermo è una meraviglia, qui sono felice, e voi siciliani siete un popolo che mi piace moltissimo