Teorema di Stokes e Teorema della Divergenza
Ciao ragazzi , stavo svolgendo un'esercizio di analisi 2, il testo recita:
Calcolare in almeno due modi il flusso del vettore $ F=(x,y,z^2) $ uscente da $ Fr(D) $ quando $ D={(x,y,z):-1<=z<=-(x^2+y^2)} $.
Volevo provare ad usare Stokes , ma calcolando il rotore , mi verrebbe il vettore nullo , il che annullerebbe tutto l'integrale. La soluzione però ,usa il teorema della divergenza , spezzando la frontiera in 2 parti e appunto applicando questo teorema . In alcuni esercizi , mi viene specificato quale teorema usare , ma tipo in questo no .Ci sono dei casi specifici in cui devo applicare Stokes e altri in cui devo applicare la Divergenza? (se ad esempio c'è scritto calcolare il flusso del rotore , è un'indizio per usare Stokes , mentre se chiede il flusso uscente da una certa frontiera , devo usare la Divergenza?).
Calcolare in almeno due modi il flusso del vettore $ F=(x,y,z^2) $ uscente da $ Fr(D) $ quando $ D={(x,y,z):-1<=z<=-(x^2+y^2)} $.
Volevo provare ad usare Stokes , ma calcolando il rotore , mi verrebbe il vettore nullo , il che annullerebbe tutto l'integrale. La soluzione però ,usa il teorema della divergenza , spezzando la frontiera in 2 parti e appunto applicando questo teorema . In alcuni esercizi , mi viene specificato quale teorema usare , ma tipo in questo no .Ci sono dei casi specifici in cui devo applicare Stokes e altri in cui devo applicare la Divergenza? (se ad esempio c'è scritto calcolare il flusso del rotore , è un'indizio per usare Stokes , mentre se chiede il flusso uscente da una certa frontiera , devo usare la Divergenza?).
Risposte
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Potrei chiederti di spiegarmi come associ questo esercizio al Teorema della Divergenza?
O meglio , capisco perchè viene applicata la definizione di flusso , ma come capisco se applicare il Teorema del Rotore o della Divergenza?
Mentre nello svolgimento , come accennato , la $Fr(D)$ viene spezzata in 2 parti , cioè :
D è un dominio regolare la cui frontiera è data da :
A$={(x,y,-x^2-y^2):x^2+y^2<=1}$ e
B$={(x,y,-1):x^2+y^2<=1}$.
E quindi applica il Teorema della Divergenza a 2 integrali diversi , per poi sommarli , come mai viene fatto questo passaggio?
D è un dominio regolare la cui frontiera è data da :
A$={(x,y,-x^2-y^2):x^2+y^2<=1}$ e
B$={(x,y,-1):x^2+y^2<=1}$.
E quindi applica il Teorema della Divergenza a 2 integrali diversi , per poi sommarli , come mai viene fatto questo passaggio?
Ciao Biagio2580,
Innanzitutto, hai capito cosa è $D$?
Cosa succede in $z = 0 $? Ed in $z = - 1$? La normale uscente in questi due casi è immediata...
Se hai riportato correttamente il testo dell'esercizio te lo dice lui:
Quindi fra quelli che ti ha già scritto sellacollesella ti interessano il secondo e l'ultimo...
Innanzitutto, hai capito cosa è $D$?
Cosa succede in $z = 0 $? Ed in $z = - 1$? La normale uscente in questi due casi è immediata...
"Biagio2580":
[...], ma come capisco se applicare il Teorema del Rotore o della Divergenza?
Se hai riportato correttamente il testo dell'esercizio te lo dice lui:
"Biagio2580":
Calcolare in almeno due modi il flusso del vettore $F=(x,y,z^2)$ uscente da $Fr(D)$
Quindi fra quelli che ti ha già scritto sellacollesella ti interessano il secondo e l'ultimo...
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"pilloeffe":
Ciao Biagio2580,
Innanzitutto, hai capito cosa è $D$?
Cosa succede in $z = 0 $? Ed in $z = - 1$? La normale uscente in questi due casi è immediata...
[quote="Biagio2580"][...], ma come capisco se applicare il Teorema del Rotore o della Divergenza?
Se hai riportato correttamente il testo dell'esercizio te lo dice lui:
"Biagio2580":
Calcolare in almeno due modi il flusso del vettore $F=(x,y,z^2)$ uscente da $Fr(D)$
Quindi fra quelli che ti ha già scritto sellacollesella ti interessano il secondo e l'ultimo...
[/quote]Ciao pilloeffe, intanto scusate ,ma avevo scritto male la frontiera che era riportata nell'esercizio , ora la ho corretta .
$D$ credo sia il dominio di definizione della mia superficie se non sbaglio... Poi se $z=-1$,aloora troverò la circonferenza di equazione $x^2+y^2=1$ , mentre perchè dovrei porre $z=0$?
Inoltre mi dice che la normale di $A$ è $(2x,2y,1)$ , mentre quella di $B$ è $(0,0,-1)$ . Ma il fatto di dover spezzare la frontiera ricorre spesso negli esercizi dove devo applicare il Teorema della Divergenza, non capisco come mai
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"sellacollesella":
[quote="Biagio2580"]Inoltre mi dice che la normale di $ A $ è $ (2x,2y,1) $ , mentre quella di $ B $ è $ (0,0,-1) $.
Sì, quelle sono le normali alle due superfici regolari; in particolare sono le normali uscenti da \(D\). Sapresti spiegare cosa significa ciò? È uno dei passaggi cruciali nell'applicazione della definizione di flusso.
[/quote]
Questo penso di averlo intuito , ovvero: avendo spezzato la frontiera in 2 , avrò 2 normali , non una : quella dell'insieme A che punta verso l'alto (lo riconosco dal fatto che ho alla fine 1 positivo ) , mentre in B ho una normale che punta verso il basso , visto il -1, giusto?
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Si tratta di un paraboloide col vertice nell'origine degli assi. Quindi per $z = 0 $ il versore è quello dell'asse $z$, cioè $(0, 0, 1) $, mentre per $z = - 1 $ il versore è $(0, 0, - 1)$.
Poi da $z = f(x,y) = - (x^2 + y^2)$ la normale è $(- (del f)/(del x), - (del f)/(del y), 1) = (2x, 2y, 1) $, che ovviamente nell'origine diventa $(0, 0, 1) $
Poi da $z = f(x,y) = - (x^2 + y^2)$ la normale è $(- (del f)/(del x), - (del f)/(del y), 1) = (2x, 2y, 1) $, che ovviamente nell'origine diventa $(0, 0, 1) $
Grazie mille ragazzi , ho capito molto anche oggi grazie a voi!!!
Invece una cosa al volo , ho sempre un'esercizio simile :
Calcolare in almeno 2 modi seguente integrale:
$ int_(+delta Sigma )^() (z^3-y) dx+z^2 dy+(y+z)dz $ dove $Sigma ={(x,y,z) \in R^3: z=2-x^2-y^2,x^2+y^2<=2}$. Anche qui , posso applicare o il metodo diretto , o Stokes . Tralasciando i calcoli il mio problema : la normale in questo caso non dovrebbe essere :$(2x,2y,1)$?(Visto che ho $z=f(x,y)$). La soluzione mi dice invece che è $(0,0,1)$ ,come mai ?
Calcolare in almeno 2 modi seguente integrale:
$ int_(+delta Sigma )^() (z^3-y) dx+z^2 dy+(y+z)dz $ dove $Sigma ={(x,y,z) \in R^3: z=2-x^2-y^2,x^2+y^2<=2}$. Anche qui , posso applicare o il metodo diretto , o Stokes . Tralasciando i calcoli il mio problema : la normale in questo caso non dovrebbe essere :$(2x,2y,1)$?(Visto che ho $z=f(x,y)$). La soluzione mi dice invece che è $(0,0,1)$ ,come mai ?
Si tratta sempre di un paraboloide, il massimo si trova nell'origine $O(0,0) $ e vale $z = 2$
Infatti la normale è $(2x, 2y, 1) $ che nell'origine diventa $(0, 0, 1) $. Se invece sei sulla superficie $x^2 + y^2 \le 2 $ (cerchio di raggio $\sqrt2$), che si ottiene sezionando il paraboloide col piano $z = 0 $, allora il versore normale è $(0, 0, - 1) $. Queste però sono le normali uscenti, il versore normale entrante nel cerchio di base (quello che si ottiene sezionando il paraboloide col piano $z = 0$) ovviamente è $(0, 0, 1) $. Bisogna vedere cosa dice l'esercizio...
Infatti la normale è $(2x, 2y, 1) $ che nell'origine diventa $(0, 0, 1) $. Se invece sei sulla superficie $x^2 + y^2 \le 2 $ (cerchio di raggio $\sqrt2$), che si ottiene sezionando il paraboloide col piano $z = 0 $, allora il versore normale è $(0, 0, - 1) $. Queste però sono le normali uscenti, il versore normale entrante nel cerchio di base (quello che si ottiene sezionando il paraboloide col piano $z = 0$) ovviamente è $(0, 0, 1) $. Bisogna vedere cosa dice l'esercizio...
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A primo impatto , come detto , avrei applicato la formulina della normale , avendo $z$ dipendente da x e da y . Ma in questo caso diciamo , cos'è che mi dovrebbe far pensare a $z=0$ ? A volte ci si arriva perchè ci sono proprio delle condizioni , ma in questo nulla , quale può essere un "indizio"?
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Quindi vediamo se ho capito : la prima equazione mi rappresenta un paraboloide girato al contrario , che ha vertice 2 , e continua all'infinito . La seconda equazione, rappresenta una circonferenza(non potrebbe rappresentare un cilindro in $R^3$?), di centro l'origine e raggio $sqrt(2)$ . Quindi l'intersezione è data nel piano $z=0$ , visto che la circonferenza è di centro l'origine?
"Biagio2580":
La soluzione mi dice invece che è $(0,0,1)$, come mai ?
Se scrivi non dico la soluzione, ma almeno il testo dell'esercizio, riusciamo a capire perché la soluzione ti dice che quella è la normale ed evitiamo di procedere per tentativi e/o supposizioni...
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