Teorema di Stokes e Teorema della Divergenza
Ciao ragazzi , stavo svolgendo un'esercizio di analisi 2, il testo recita:
Calcolare in almeno due modi il flusso del vettore $ F=(x,y,z^2) $ uscente da $ Fr(D) $ quando $ D={(x,y,z):-1<=z<=-(x^2+y^2)} $.
Volevo provare ad usare Stokes , ma calcolando il rotore , mi verrebbe il vettore nullo , il che annullerebbe tutto l'integrale. La soluzione però ,usa il teorema della divergenza , spezzando la frontiera in 2 parti e appunto applicando questo teorema . In alcuni esercizi , mi viene specificato quale teorema usare , ma tipo in questo no .Ci sono dei casi specifici in cui devo applicare Stokes e altri in cui devo applicare la Divergenza? (se ad esempio c'è scritto calcolare il flusso del rotore , è un'indizio per usare Stokes , mentre se chiede il flusso uscente da una certa frontiera , devo usare la Divergenza?).
Calcolare in almeno due modi il flusso del vettore $ F=(x,y,z^2) $ uscente da $ Fr(D) $ quando $ D={(x,y,z):-1<=z<=-(x^2+y^2)} $.
Volevo provare ad usare Stokes , ma calcolando il rotore , mi verrebbe il vettore nullo , il che annullerebbe tutto l'integrale. La soluzione però ,usa il teorema della divergenza , spezzando la frontiera in 2 parti e appunto applicando questo teorema . In alcuni esercizi , mi viene specificato quale teorema usare , ma tipo in questo no .Ci sono dei casi specifici in cui devo applicare Stokes e altri in cui devo applicare la Divergenza? (se ad esempio c'è scritto calcolare il flusso del rotore , è un'indizio per usare Stokes , mentre se chiede il flusso uscente da una certa frontiera , devo usare la Divergenza?).
Risposte
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"pilloeffe":
[quote="Biagio2580"]La soluzione mi dice invece che è $(0,0,1)$, come mai ?
Se scrivi non dico la soluzione, ma almeno il testo dell'esercizio, riusciamo a capire perché la soluzione ti dice che quella è la normale ed evitiamo di procedere per tentativi e/o supposizioni...
[/quote]Il problema è che non viene spiegato , sennò lo avrei scritto , dice subito che la normale è quella
"sellacollesella":
[quote="Biagio2580"]Quindi vediamo se ho capito : la prima equazione mi rappresenta un paraboloide girato al contrario , che ha vertice 2 , e continua all'infinito . La seconda equazione ...
La prima è un'equazione, sì: \(z=2-x^2-y^2\), che come ben scrivi è un paraboloide, ossia una superficie con vertice in \(z=2\) e poi si estende verso \(z \to -\infty\). La seconda, invece, è una disequazione, ossia \(x^2+y^2 \le 2\) che impone di considerare la porzione di paraboloide da \(z=0\) a \(z=2\) per i motivi sopra scritti per esteso.
Circa la seconda superficie tirata in ballo, quella di chiusura, essa è un piano infinito di equazione \(z=0\) che per via della disequazione \(x^2+y^2 \le 2\) impone di considerare una porzione circolare di tale piano con centro l'origine e con raggio \(\sqrt{2}\). Tutto qui.[/quote]
Si ora capisco , ma quindi in questo caso non devo considerare diciamo la figura del cilindro , ma solo una circonferenza che mi fa da "chiusura" al paraboloide, giusto?
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Grazie sellacollesella e pilloeffe!!!
Vorrei chiedere un ultimo esercizio .
Calcolare in almeno due modi
$ int_(C)^() (z^2+y)dx+zdy+ydz $ , dove $C$ è intersezione tra :$x^2+y^2+z=1$e $z=0$, dove C è percorsa in senso orario.
Quindi applico il metodo diretto e parametrizzo la curva , che sarà una circonferenza :
$ { ( x=cost ),( y=sint ),( z=0 ):} ;t \in 2pi>=t>=0 $ , poi calcolo le derivate , sostituisco , e l'integrale viene semplicemente $pi$ , e infatti mi torna .
Dopo devo usare stokes: calcolo il rotore che è:$(0,2z,-1)$ , mentre la normale , avendo $z=0$, e la curva percorsa in senso orario , è $(0,0,-1)$.
Avendo $z=0$, il rotore diventa:$(0,0,1)$ e ora mi rimane da risolvere l'integrale , solamente che non capisco ora se devo parametrizzare la superficie o no , e non capisco come fa a tornare $pi$. il testo mi dice semplicemente che :
$ int int_(x^2+y^2<=1)^() (0,0,1) (0,0,-1)=pi $ , non capisco come viene sviluppato l'integrale , potreste spiegarmi ?
Calcolare in almeno due modi
$ int_(C)^() (z^2+y)dx+zdy+ydz $ , dove $C$ è intersezione tra :$x^2+y^2+z=1$e $z=0$, dove C è percorsa in senso orario.
Quindi applico il metodo diretto e parametrizzo la curva , che sarà una circonferenza :
$ { ( x=cost ),( y=sint ),( z=0 ):} ;t \in 2pi>=t>=0 $ , poi calcolo le derivate , sostituisco , e l'integrale viene semplicemente $pi$ , e infatti mi torna .
Dopo devo usare stokes: calcolo il rotore che è:$(0,2z,-1)$ , mentre la normale , avendo $z=0$, e la curva percorsa in senso orario , è $(0,0,-1)$.
Avendo $z=0$, il rotore diventa:$(0,0,1)$ e ora mi rimane da risolvere l'integrale , solamente che non capisco ora se devo parametrizzare la superficie o no , e non capisco come fa a tornare $pi$. il testo mi dice semplicemente che :
$ int int_(x^2+y^2<=1)^() (0,0,1) (0,0,-1)=pi $ , non capisco come viene sviluppato l'integrale , potreste spiegarmi ?
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"Biagio2580":
il testo mi dice semplicemente che :
$\int \int_{x^2 + y^2 \le 1}(0,0,1)(0,0,−1)=\pi $
Se veramente il testo ti ha scritto l'integrale in questo modo, ti consiglierei di buttarlo via...
"pilloeffe":
[quote="Biagio2580"]il testo mi dice semplicemente che :
$\int \int_{x^2 + y^2 \le 1}(0,0,1)(0,0,−1)=\pi $
Se veramente il testo ti ha scritto l'integrale in questo modo, ti consiglierei di buttarlo via...
[/quote]Giuro , per questo non capisco a volte
"sellacollesella":
[quote="Biagio2580"]Vorrei chiedere un'ultimo esercizio.
Senza apostrofo, perdincibacco!
"Biagio2580":
Calcolare in almeno due modi
$ int_(C)^() (z^2+y)dx+zdy+ydz $ , dove $C$ è intersezione tra :$x^2+y^2+z=1$e $z=0$, dove C è percorsa in senso orario.
Ok.
"Biagio2580":
Quindi applico il metodo diretto e parametrizzo la curva , che sarà una circonferenza :
$ { ( x=cost ),( y=sint ),( z=0 ):} ;t \in 2pi>=t>=0 $ , poi calcolo le derivate , sostituisco , e l'integrale viene semplicemente $pi$ , e infatti mi torna.
Ok.
"Biagio2580":
Dopo devo usare stokes: calcolo il rotore che è:$(0,2z,-1)$ , mentre la normale , avendo $z=0$, e la curva percorsa in senso orario , è $(0,0,-1)$.
Va bene, ne deduco che stai considerando la superficie di sostegno: \[
\Sigma := \left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : z=0,\,x^2+y^2 \le 1\right\}
\] e quindi, per il teorema del rotore: \[
\mathcal{L}_{\partial\Sigma}(\mathbf{F}) \overset{\text{th.}}{=} \iint\limits_{\Sigma} (\nabla \land \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\,\text{d}S = \iint\limits_{x^2+y^2 \le 1} (0,\,0,\,-1) \cdot (0,\,0,\,-1)\,\text{d}x\,\text{d}y = \iint\limits_{x^2+y^2 \le 1} 1\,\text{d}x\,\text{d}y = \pi
\] dove quest'ultimo integrale corrisponde all'area di un cerchio di raggio unitario. Naturalmente, se non te ne accorgessi, basta che passi a coordinate polari nel piano e lo calcoli come qualsiasi altro integrale doppio.[/quote]
Ma se passo a coordinate polari , comunque avrei solamente 1 , quindi è come se non dovessi sostituire nulla , e inoltre comunque avrei gli estremi d integrazione tra $[0,2pi]$, il che mi darebbe $2pi$, o almeno credo. Per quello che dici tu invece , perchè quell'integrale corrisponde all'area del cerchio ? Ovviamente applicando l'area del cerchio torna , ma non capisco perchè dovrei associare questo integrale all'area , mi potresti far capire meglio?
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Lo Jacobiano giusto !!! Spesso me lo scordo , devo stare più attento cavoli. Si effettivamente ora capisco anche quanto riguarda l'area , devo stare più attento scusa tanto!!!
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Si scusa hai ragione , per quanto riguarda gli esercizi sono dei vecchi esami che il professore ci mette a disposizione , però ecco non vengono spiegati molti passaggi
"sellacollesella":
per curiosità, da che libro stai studiando o comunque reperendo esercizi?
Stavo per farti la stessa domanda, tanto per essere sicuro di non acquistarlo mai...
A tua parziale discolpa devo ammettere che se uno ti scrive un integrale doppio come
"Biagio2580":
$\int\int_{x^2 + y^2 \le 1}(0,0,1)(0,0,−1)=\pi $
invece che correttamente $\int \int _{x^2 + y^2 \le 1}(0,0,-1)(0,0,−1) \text{d}x \text{d}y $ non è che ti aiuta tanto a capire che nella trasformazione in coordinate polari occorre tener presente lo jacobiano $\rho$:
$\int \int _{x^2 + y^2 \le 1}(0,0,-1)(0,0,−1) \text{d}x \text{d}y = \int_0^{2\pi} \text{d}t \int_0^1 \rho \text{d}\rho = 2\pi [\rho^2/2]_0^1 = 2\pi [1/2 - 0] = \pi $
A volte bastano tre passaggi in più per passare dal non capire nulla al capire tutto...
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