Teorema di separazione di due insiemi chiusi

[TS778LB]

In riferimento al teorema dell'immagine mi sono chiesto perché i due insiemi devono essere chiusi. Ho pensato che se fossero aperti, non necessariamente conterrebbero tutti i loro punti di accumulazione e quindi, un punto dell'insieme B potrebbe essere un punto di accumulazione per A. In questo caso la distanza del punto sia da A che da B sarebbe 0 e ciò non permetterebbe di definire la funzione in quel modo (il denominatore rischierebbe di essere nullo). Se invece i due insiemi sono chiusi quest'eventualità può escludersi perché un insieme chiuso contiene tutti i suoi punti di accumulazione ed A e B sono disgiunti. È corretto?
Grazie.

[solaàl]

Beh, se non sono chiusi, ad esempio se sono aperti, il teorema è falso: che funzione continua è 0 su ]0,1[ e 1 su ]-1,0[?

Per riferimento: https://en.wikipedia.org/wiki/Urysohn%27s_lemma