Teorema di Lagrange, dimostrazione mediante intorni.
Buongiorno, sto leggendo la dimostrazione del teorema sulla condizione sufficiente di differenziabilità,
dal libro: Analisi Matematica 2 di Bramanti, Pagani e Salsa.
La dimostrazione proposta si basa sostanzialmente sul teorema di Lagrange mediante gli intorni, mediante gli intorni è una mia interpretazione, poiché,
Frammento della dimostrazione: Applicando il teorema di Lagrange alla funzione $x to f(x,y_0)$ della sola variabile $x$, possiamo scrivere
Quindi, prendo spunto dalla versione "classica", cioè
Teorema di Lagrange: Sia $f:[a,b] to RR$ continua e derivabile $(a,b).$
Allora esiste un punto $c in (a,b)$ tale che
Provo a riformularlo cosi:
Siano$f:[a,b] to RR$ e $x_0 in (a,b),$ inoltre, se $f$ risulta derivabile in un intorno $I(x_0, h)=(x_0-h,x_0+h)$ con derivata continua in tale intorno e $h$ scelto abbastanza piccolo, allora esiste un punto $c in I(x_0,h)$ tale che
Non arrabbiatevi con me, ci provo
, saluti.
dal libro: Analisi Matematica 2 di Bramanti, Pagani e Salsa.
La dimostrazione proposta si basa sostanzialmente sul teorema di Lagrange mediante gli intorni, mediante gli intorni è una mia interpretazione, poiché,
Frammento della dimostrazione: Applicando il teorema di Lagrange alla funzione $x to f(x,y_0)$ della sola variabile $x$, possiamo scrivere
$f(x_0+h, y_0)-f(x_0,y_0)= (partial f)/(partialx)(x_0+delta_1h, y_0)h$
per un opportuno $delta_1 in (0,1)$ dipendente da $h.$Quindi, prendo spunto dalla versione "classica", cioè
Teorema di Lagrange: Sia $f:[a,b] to RR$ continua e derivabile $(a,b).$
Allora esiste un punto $c in (a,b)$ tale che
$(f(a)-f(b))/(b-a)=f'(c).$
Provo a riformularlo cosi:
Siano$f:[a,b] to RR$ e $x_0 in (a,b),$ inoltre, se $f$ risulta derivabile in un intorno $I(x_0, h)=(x_0-h,x_0+h)$ con derivata continua in tale intorno e $h$ scelto abbastanza piccolo, allora esiste un punto $c in I(x_0,h)$ tale che
$(f(x_0+h)-f(x_0-h))/h=f'(c).$
Non arrabbiatevi con me, ci provo
, saluti.
Risposte
Ciao Pasquale 90,
Beh, cosa succede se poni in questa versione "classica" $b := x_0 + h $ e $a := x_0 $?
"Pasquale 90":
prendo spunto dalla versione "classica"
Beh, cosa succede se poni in questa versione "classica" $b := x_0 + h $ e $a := x_0 $?
Ciao pilloeffe, mi viene
Teorema di Lagrange: Sia $ f:[x_0,x_0+h] to RR $ continua e derivabile $ (x_0,x_0+h). $
Allora esiste un punto $ c in (x_0,x_0+h) $ tale che
Ora $c in (x_0,x_0+h)$ equivale $x_0
Ora, l'altro mio dubbio è verificare se la quantità $x_0+delta_1h$ descriva tutti i punti dell'intervallo $(x_0, x_0+h).$Intuitivamente ci sono, ma algebricamente un po' meno, un po' meno perché penso che tale relazione si dovrebbe basare sulla definizione di segmento chiuso, la quale dice:
Definizione:
Siano $x,y in RR^n.$ L’insieme dei punti di $RR^n$ ottenuti come
A questo punto basta prendere $x=x_0, y=x_0+h,$ con $h>0$ ed il punto $c$ della definizione, risulta
Va bene ?
Teorema di Lagrange: Sia $ f:[x_0,x_0+h] to RR $ continua e derivabile $ (x_0,x_0+h). $
Allora esiste un punto $ c in (x_0,x_0+h) $ tale che
$ (f(x_0+h)-f(x_0))/h=f'(c). $
Ora $c in (x_0,x_0+h)$ equivale $x_0
Ora, l'altro mio dubbio è verificare se la quantità $x_0+delta_1h$ descriva tutti i punti dell'intervallo $(x_0, x_0+h).$Intuitivamente ci sono, ma algebricamente un po' meno, un po' meno perché penso che tale relazione si dovrebbe basare sulla definizione di segmento chiuso, la quale dice:
Definizione:
Siano $x,y in RR^n.$ L’insieme dei punti di $RR^n$ ottenuti come
$z=(1−β)x+βy$
al variare di$β$ nell’intervallo $[0,1]$ viene definito come segmento chiuso di estremi x,y e viene sinteticamente indicato con $[x, y].$A questo punto basta prendere $x=x_0, y=x_0+h,$ con $h>0$ ed il punto $c$ della definizione, risulta
$c=(1-delta_1)x_0+delta_1(x_0+h)=x_0+delta_1h$ con $delta_1 in (0,1).$
Va bene ?
L'hai fatta un po' lunga, ma direi che va bene... 
Se prendi $ \delta_1 \in (0,1) $, si vede abbastanza subito che la quantità $x_0 +\delta_1 h $ copre tutti i punti che vanno da $x_0 $ a $x_0 + h $ estremi esclusi (comunque per semplicità puoi anche considerare per un attimo gli estremi inclusi e verificare che cosa accade per $ \delta_1 = 0 $ e per $ \delta_1 = 1 $)
Se prendi $ \delta_1 \in (0,1) $, si vede abbastanza subito che la quantità $x_0 +\delta_1 h $ copre tutti i punti che vanno da $x_0 $ a $x_0 + h $ estremi esclusi (comunque per semplicità puoi anche considerare per un attimo gli estremi inclusi e verificare che cosa accade per $ \delta_1 = 0 $ e per $ \delta_1 = 1 $)
si ma intuitivamente ci sono, ma poi...mi viene da pensare....se la prof mi dice perché ? 
che le rispondo..
comunque, per $delta_1=0, delta_1=1$ sono fuori dall'intervallo $I=(x_0,x_0+h)$, ottengo i due punti di frontiera di $I$?
che le rispondo..comunque, per $delta_1=0, delta_1=1$ sono fuori dall'intervallo $I=(x_0,x_0+h)$, ottengo i due punti di frontiera di $I$?
Sì, esatto, ottieni i due punti della frontiera $x_0 $ e $x_0 + h $
... Di ripassare le equazioni parametriche delle rette e dei segmenti?
Scherzo eh, non lo fare...
"Pasquale 90":
se la prof mi dice perché ?
... Di ripassare le equazioni parametriche delle rette e dei segmenti?
Scherzo eh, non lo fare...
"pilloeffe":
Di ripassare le equazioni parametriche delle rette e dei segmenti?
Scherzo eh, non lo fare...
Premesso che ho ancora qualche dubbio sulla dimostrazione del teorema
...ma la definizione di segmento chiuso non corrisponde alla parametrizzazione dell'intervallo $[x,y]$ con parametro $delta_1$ ?
Sì, la definizione di segmento chiuso corrisponde alla parametrizzazione dell'intervallo $[x, y] = [x_0,x_0 + h]$ con parametro $\delta_1 \in [0, 1] $ : $x_0 + \delta_1 h $
Per $\delta_1 = 0 $ si ottiene il primo estremo del segmento $x = x_0$; per $\delta_1 = 1 $ si ottiene il secondo estremo del segmento $y = x_0 + h $
Per $\delta_1 = 0 $ si ottiene il primo estremo del segmento $x = x_0$; per $\delta_1 = 1 $ si ottiene il secondo estremo del segmento $y = x_0 + h $
La cosa divertente di tutta questa faccenda è che, visto un $delta$, scatta il riflesso condizionato "c'entrano gli intorni"...
Lo dico sempre: quando si studia Matematica bisogna tenere presente il famoso passaggio di Humpty Dumpty:
Lo dico sempre: quando si studia Matematica bisogna tenere presente il famoso passaggio di Humpty Dumpty:
"Lewis Carroll":
"When I use a word," Humpty Dumpty said, in rather a scornful tone, "it means just what I choose it to mean—neither more nor less."
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo