Teorema di Kamke, dubbio
Buongiorno!
Ho un dubbio sul teorema di Kamke, che illustro:
"Sia $f:A->RR$ una funzione continua su un aperto $A sube RR^2 $.
Il grafico di una soluzione massimale a destra [o sinistra] dell'equazione differenziale
$y'=f(x,y)$
non può essere contenuto in un sottoinsieme limitato e chiuso di $A$."
Quello che non capisco:
$1)$ Qual è il legame tra il dominio ed il codominio della funzione soluzione massimale ed il dominio di $A$? Non riesco bene a figurarmi il dominio di $A$ e la funzione $f$.
$2)$ Cosa si intende con: "il grafico di una soluzione massimale non può essere contenuto in un sottoinsieme limitato e chiuso di $A$" ?
Grazie a chi saprà aiutarmi a comprendere!!
Ho un dubbio sul teorema di Kamke, che illustro:
"Sia $f:A->RR$ una funzione continua su un aperto $A sube RR^2 $.
Il grafico di una soluzione massimale a destra [o sinistra] dell'equazione differenziale
$y'=f(x,y)$
non può essere contenuto in un sottoinsieme limitato e chiuso di $A$."
Quello che non capisco:
$1)$ Qual è il legame tra il dominio ed il codominio della funzione soluzione massimale ed il dominio di $A$? Non riesco bene a figurarmi il dominio di $A$ e la funzione $f$.
$2)$ Cosa si intende con: "il grafico di una soluzione massimale non può essere contenuto in un sottoinsieme limitato e chiuso di $A$" ?
Grazie a chi saprà aiutarmi a comprendere!!
Risposte
1) Prova a farti un esempio: prendi, tanto per capirci, $y^\prime (x) = 1/x$.
E tieni presente la definizione di equazione differenziale... La conosci?
2) Si intende esattamente quello che c'è scritto. Cosa non ti è chiaro?
E tieni presente la definizione di equazione differenziale... La conosci?
2) Si intende esattamente quello che c'è scritto. Cosa non ti è chiaro?
"gugo82":
1) Prova a farti un esempio: prendi, tanto per capirci, $y^\prime (x) = 1/x$.
E tieni presente la definizione di equazione differenziale... La conosci?
Un'equazione differenziale è un'equazione che coinvolge le derivate di una funzione incognita, la funzione stessa e le sue variabili indipendenti.
Nel tuo esempio, data $f:A->RR$
$f(x,y)=1/x$
La soluzione massimale è:
$y(x)= ln(x)+c$
Per quanto riguarda $f(x,y)$
Dominio di $f = {x in RR \\ {0} }$
Codominio di $f = RR$
Immagine di $f = {x in RR \\ {0} }$
Codominio di $f = RR$
Immagine di $f = {x in RR \\ {0} }$
Per quanto riguarda $y(x)$
Dominio di $y = {x in RR : x>0}$
Codominio di $y = RR$
Immagine di $y= RR$
Codominio di $y = RR$
Immagine di $y= RR$
Il legame consta nel fatto che il dominio ed il codominio di $y$ sono contenuti nel dominio e nel codominio di $f$ ?
E se nella funzione $f$ fosse comparsa anche $y$? Ad esempio, se considero l'EDO
$y'= (xy)/(x^2-y^2)$
?
"gugo82":
2) Si intende esattamente quello che c'è scritto. Cosa non ti è chiaro?
Qui potevo essere più preciso riguardo il mio dubbio: per grafico della funzione $y(x)$, intende la sua immagine? Io ho sempre letto immagine della funzione nelle definizioni, e non grafico. Le due definizioni coincidono, giusto?
"ronti":
[quote="gugo82"]1) Prova a farti un esempio: prendi, tanto per capirci, $y^\prime (x) = 1/x$.
E tieni presente la definizione di equazione differenziale... La conosci?
Un'equazione differenziale è un'equazione che coinvolge le derivate di una funzione incognita, la funzione stessa e le sue variabili indipendenti.[/quote]
Il che significa poco... Se vuoi chiarire i dubbi, devi riflettere su una definizione decente, non su una pseudo-definizione.
"ronti":
Nel tuo esempio, data $f:A->RR$
$f(x,y)=1/x$
La soluzione massimale è:
$y(x)= ln(x)+c$
No, non solo.
"ronti":
Per quanto riguarda $f(x,y)$
Dominio di $f = {x in RR \\ {0} }$
Codominio di $f = RR$
Immagine di $f = {x in RR \\ {0} }$
No.
"ronti":
Per quanto riguarda $y(x)$
Dominio di $y = {x in RR : x>0}$
Codominio di $y = RR$
Immagine di $y= RR$
Sì, ma quella $y$ non è esattamente tutto quello che ti interessa.
"ronti":
Il legame consta nel fatto che il dominio ed il codominio di $y$ sono contenuti nel dominio e nel codominio di $f$ ?
Come può $RR$ essere contenuto in $RR^2$?
Che significa "essere contenuto"?
"ronti":
E se nella funzione $f$ fosse comparsa anche $y$? Ad esempio, se considero l'EDO
$y'= (xy)/(x^2-y^2)$
?
Se non riesci a rispondere alle questioni banali, come pensi di rispondere a quelle più complesse?
"ronti":
[quote="gugo82"]
2) Si intende esattamente quello che c'è scritto. Cosa non ti è chiaro?
Qui potevo essere più preciso riguardo il mio dubbio: per grafico della funzione $y(x)$, intende la sua immagine? Io ho sempre letto immagine della funzione nelle definizioni, e non grafico. Le due definizioni coincidono, giusto?[/quote]
Cos'è il grafico di una funzione?
A quanto pare, oltre la definizione di equazione differenziale, ti manca tutto il repertorio di base dell'Algebra... Fossi in te, una ripetizione ai primi capitoli del testo di Analisi I (o di Algebra I) la farei.
"gugo82":
[quote="ronti"]Per quanto riguarda $f(x,y)$
Dominio di $f = {x in RR \\ {0} }$
Codominio di $f = RR$
Immagine di $f = {x in RR \\ {0} }$
No.
[/quote]
Perché no? $f$ dipende solo da $x$, sbaglio? cosa è sbagliato?
"gugo82":
[quote="ronti"]Il legame consta nel fatto che il dominio ed il codominio di $y$ sono contenuti nel dominio e nel codominio di $f$ ?
Come può $RR$ essere contenuto in $RR^2$?
Che significa "essere contenuto"?
[/quote]
Mi riferivo al fatto che, se, considerando la funzione $f$ definisco
$I={x in RR \\ {0} }$
e, considerando la funzione $y$ definisco
$S={x in RR : x>0 }$
Allora $S sube I$
P.S. Sicuramente un ripasso mi farebbe molto comodo e dovrò farlo, anche perché ho ripreso gli studi da poco dopo che li ho interrotti per lungo tempo. Tuttavia non riesco a capire qual è il legame tra $f(x,y)$ e la soluzione $y(x)$, e questo mi lascia l'amaro in bocca
Ti rendi conto che ad ogni risposta cambi il senso di quel che hai scritto in precedenza?...
Detto, ciò, guarda bene: che cos'è il secondo membro di una EDO in forma normale?
Detto, ciò, guarda bene: che cos'è il secondo membro di una EDO in forma normale?
"gugo82":
Ti rendi conto che ad ogni risposta cambi il senso di quel che hai scritto in precedenza?...
molto probabilmente ciò che ho scritto è sbagliato, ma non è diverso dal commento precedente da me postato. Ho semplicemente riscritto il dominio di $f$ ed il dominio di $y$ che avevo scritto prima.
"gugo82":
Detto, ciò, guarda bene: che cos'è il secondo membro di una EDO in forma normale?
Il secondo membro di una EDO in forma normale è una funzione le cui variabili indipendenti sono:
- la variabile indipendente della funzione soluzione che sto cercando;
- la funzione soluzione che sto cercando;
- le derivate della funzione soluzione che sto cercando.
Io mi riferivo al fatto che, mentre nel primo post scrivevi (correttamente) che il secondo membro di una EDO del primo ordine in forma normale è una funzione di due variabili -$f(x,y)$-, nel post successivo scrivevi come dominio del secondo membro $RR \setminus \{0\}$... E come può essere?
Inoltre, è ancora senza risposta la questione della definizione di EDO.
Inoltre, è ancora senza risposta la questione della definizione di EDO.
"gugo82":
Inoltre, è ancora senza risposta la questione della definizione di EDO.
Siano
$n in NN$
$Omega sube RR^(n+2)$ aperto
$I sube RR$ intervallo
e $F : Omega → RR$ una funzione.
Un’equazione differenziale ordinaria di ordine $n$ è un’equazione della forma
$F(x, y, y', . . . , y^(n'))= 0$
dove $x in I$ e $y : I → RR$ è una funzione derivabile $n$ volte su $I$.
Diciamo che l’equazione
differenziale è in forma normale se è della forma
$y^(n') = f(x, y, y', . . . , y^(n−1'))$
dove $f : A → RR$ è una funzione e $A ⊆ RR^(n+1)$ è un aperto.
Oh... Quindi:
Detto ciò, il secondo membro di una EDO d'ordine $n$ in forma normale è sempre da interpretare come una funzione di $n+1$ variabili, i.e. la variabile indipendente $x$ e le altre $n$ che sono "occupate" dalle $n$ derivate successive della funzione incognita $y^((0))=y, y^\prime, ..., y^((n-1))$.
Nel nostro caso, visto che la EDO è del primo ordine, hai $f(x,y) = 1/x$ ed è definita in $A= (RR \setminus \{ 0\}) xx RR$.
Siano $n in NN$ maggiore di $0$, $Omega subseteq RR^(n+2)$ un sottoinsieme con interno non vuoto (o aperto, se ti piace di più) ed $F:Omega -> RR$.
Si chiama equazione differenziale ordinaria d'ordine $n$ il problema di stabilire se esistono ed, eventualmente, calcolare esplicitamente funzioni $y:I -> RR$ tali che:
[*:4tpz3upi] $I$ è un intervallo aperto non banale,
[/*:m:4tpz3upi]
[*:4tpz3upi] $y$ è derivabile $n$ volte in $I$,
[/*:m:4tpz3upi]
[*:4tpz3upi] per ogni $x in I$ risulta $(x,y(x), y^\prime (x) ,... y^((n))(x)) in Omega$,
[/*:m:4tpz3upi]
[*:4tpz3upi] per ogni $x in I$ risulta $F(x,y(x),y^\prime (x), ..., y^((n))(x)) = 0$.[/*:m:4tpz3upi][/list:u:4tpz3upi]
Questo problema si denota in maniera sintetica col simbolo:
(*) $F(x,y,y^\prime, ..., y^((n))) = 0$.
Se è possibile scrivere $F(x,y,y^\prime , ..., y^((n))) = y^((n)) - f(x,y^\prime , ..., y^((n-1)))$ (con $f$ definita in un aperto di $RR^(n+1))$), si dice che la EDO si può mettere in forma normale:
$y^((n-1)) = f(x,y,y^\prime , ..., y^((n-1)))$.
Detto ciò, il secondo membro di una EDO d'ordine $n$ in forma normale è sempre da interpretare come una funzione di $n+1$ variabili, i.e. la variabile indipendente $x$ e le altre $n$ che sono "occupate" dalle $n$ derivate successive della funzione incognita $y^((0))=y, y^\prime, ..., y^((n-1))$.
Nel nostro caso, visto che la EDO è del primo ordine, hai $f(x,y) = 1/x$ ed è definita in $A= (RR \setminus \{ 0\}) xx RR$.
"gugo82":
Detto ciò, il secondo membro di una EDO d'ordine $n$ in forma normale è sempre da interpretare come una funzione di $n+1$ variabili, i.e. la variabile indipendente $x$ e le altre $n$ che sono "occupate" dalle $n$ derivate successive della funzione incognita $y^((0))=y, y^\prime, ..., y^((n-1))$.
Nel nostro caso, visto che la EDO è del primo ordine, hai $f(x,y) = 1/x$ ed è definita in $A= (RR \setminus \{ 0\}) xx RR$.
Seguendo la definizione, hai sicuramente ragione tu, in quanto la funzione $f$ non può che essere definita in $RR^(n+1)$, ed in questo caso $n=1$.
Tuttavia devo confessarti che mi risulta difficile da comprendere, mi risulta difficile immaginare una funzione $f$ che abbia come variabili la funzione soluzione che sto cercando $y$ e le sue derivate.
Ad esempio, non riuscirei mai ad immaginare, a figurarmi una funzione $f$ che appare al secondo membro della seguente EDO:
$y'= (xy)/(x-2y)$
O, ancora peggio,
$y''= (xy)+ y'$
Nella mia mente ci sarebbe il vuoto più totale, buio.
Non capisco quale sia il problema... A parte la tua difficoltà a capire cosa sia una variabile.
Nel primo caso $f(x,y) = (xy)/(x - 2y)$ definita in $A := \{ (x,y) in RR^2:\ x - 2y != 0\}$; nel secondo caso $f(x,y,p) = xy + p$ definita in $A:= RR^3$.
Nel primo caso $f(x,y) = (xy)/(x - 2y)$ definita in $A := \{ (x,y) in RR^2:\ x - 2y != 0\}$; nel secondo caso $f(x,y,p) = xy + p$ definita in $A:= RR^3$.
Siccome si tratta di un corso base, è comune parlare di dominio dopo aver definito la funzione, ma il dominio fa parte della definizione. Insomma, \(A\) può essere strettamente più piccolo dell'insieme massimale che si può calcolare usando la formula algebrica della funzione.
Un altro piccolo commento: suppongo che la chiusura e la limitatezza vadano considerate nella topologia di \(\mathbb{R}^2\).
Un altro piccolo commento: suppongo che la chiusura e la limitatezza vadano considerate nella topologia di \(\mathbb{R}^2\).
Beh, a rigore sì, vict85... Ma "restringere" il dominio nel caso delle EDO è una cosa un po' artificiosa, perché una EDO "forza" la soluzione ad occupare tutto lo spazio disponibile (che è proprio il succo del teorema di cui si discute).
Si certo, in realtà il mio problema era più che altro che leggendo chiuso e limitato di \(A\), mi sono cominciato a chiedere se un aperto di \(\mathbb{R}^n\) possedesse o meno la proprietà di Heine–Borel e la risposta che mi sono dato dopo qualche ragionamento è no. Per esempio, se \(A\) è esso stesso limitato, allora \(A\) stesso sarebbe sia chiuso che limitato nella topologia del sottospazio, ma certamente non è un insieme compatto. Devo dice che ci ho messo anche troppo a rispondermi, sono molto fuori forma (dando un'occhiata al teorema di Heine-Borel direi che quel che manca è la completezza).
Il riferimento alla questione del dominio era una considerazione accessoria che mi è venuta leggendo il resto della conversazione.
Ma adesso chiudo l'OT, altrimenti confondo l'autore della discussione.
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@ronti:
In ogni caso, come si può leggere su wiki, il grafico di una funzione \(g\colon X\to Y \) è il sottospazio del prodotto cartesiano \(X\times Y\) definito come \(G(g) = \{ (x,y)\in X\times Y \mid y = g(x) \}\). Ti è più chiaro il testo ora?
Il riferimento alla questione del dominio era una considerazione accessoria che mi è venuta leggendo il resto della conversazione.
Ma adesso chiudo l'OT, altrimenti confondo l'autore della discussione.
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@ronti:
In ogni caso, come si può leggere su wiki, il grafico di una funzione \(g\colon X\to Y \) è il sottospazio del prodotto cartesiano \(X\times Y\) definito come \(G(g) = \{ (x,y)\in X\times Y \mid y = g(x) \}\). Ti è più chiaro il testo ora?
Ringrazio vict85 ed in particolar modo gugo82 perché ora sono più vicino alla comprensione del teorema, o almeno sono convinto di ciò.
Se riprendo l'esempio iniziale di gugo82
$y'=1/x$
$f(x,y)= 1/x$
Dominio di $f(x,y)= A= {RR \\ {0}} x RR$
Soluzione EDO $-> y(x)=ln(x)+c$
A conferma di ciò che mi illustra il Teorema di Kamke, vedo che il grafico $G$ della funzione $y=ln(x)+c$ NON è contenuto in un sottoinsieme limitato e chiuso di $A$.
Infatti $G(y) = (-oo , +oo)$
Se riprendo l'esempio iniziale di gugo82
$y'=1/x$
$f(x,y)= 1/x$
Dominio di $f(x,y)= A= {RR \\ {0}} x RR$
Soluzione EDO $-> y(x)=ln(x)+c$
A conferma di ciò che mi illustra il Teorema di Kamke, vedo che il grafico $G$ della funzione $y=ln(x)+c$ NON è contenuto in un sottoinsieme limitato e chiuso di $A$.
Infatti $G(y) = (-oo , +oo)$
Ci sono vari errori. Primo fra tutti il dire che la soluzione è \(y = \ln(x) + c\). Sia perché non esiste una unica soluzione, sia perché la famiglia \(\{ \ln(x) + c \mid c \in \mathbb{R} \}\) non include tutte le soluzioni dei problemi di Cauchy con quella EDO.
Secondariamente, il grafico di \(y = \ln(x)+c\) per un \(c\) fissato non è \((-\infty,\infty)\) ma \(\{ (x,y) \mid y = \ln(x)+c \}\subset (\mathbb{R}\setminus\{0\})\times \mathbb{R}\).
Secondariamente, il grafico di \(y = \ln(x)+c\) per un \(c\) fissato non è \((-\infty,\infty)\) ma \(\{ (x,y) \mid y = \ln(x)+c \}\subset (\mathbb{R}\setminus\{0\})\times \mathbb{R}\).
Quello che indichi è l'immagine della funzione $y(x) = log x + c$ per ogni $c in RR$, non il grafico.
Se non sai cos'è il grafico di una funzione, come pretendi di capire il teorema?
Inoltre, non è vero che quelle identificate sono tutte le soluzioni massimali della EDO.
Per capirci, qual è la soluzione massimale del PdC:
$\{ (y^\prime (x) = 1/x), (y(-1) = 0):}$?
Se non sai cos'è il grafico di una funzione, come pretendi di capire il teorema?
Inoltre, non è vero che quelle identificate sono tutte le soluzioni massimali della EDO.
Per capirci, qual è la soluzione massimale del PdC:
$\{ (y^\prime (x) = 1/x), (y(-1) = 0):}$?
"vict85":
Ci sono vari errori. Primo fra tutti il dire che la soluzione è \(y = \ln(x) + c\). Sia perché non esiste una unica soluzione, sia perché la famiglia \(\{ \ln(x) + c \mid c \in \mathbb{R} \}\) non include tutte le soluzioni dei problemi di Cauchy con quella EDO.
Secondariamente, il grafico di \(y = \ln(x)+c\) per un \(c\) fissato non è \((-\infty,\infty)\) ma \(\{ (x,y) \mid y = \ln(x)+c \}\subset (\mathbb{R}\setminus\{0\})\times \mathbb{R}\).
Molto chiaro, grazie vict85!!!
"gugo82":
Per capirci, qual è la soluzione massimale del PdC:
$\{ (y^\prime (x) = 1/x), (y(-1) = 0):}$?
Una funzione della forma
$y(x)= ln(x) +c$
in cui
$c in CC$ ?
Che senso ha tirare a caso con noi? Non è che se indovini vinci qualcosa. Invece di tirare in ballo i numeri complessi, perché non provi a risolvere l'EDO?
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