Teorema di Kamke, dubbio
Buongiorno!
Ho un dubbio sul teorema di Kamke, che illustro:
"Sia $f:A->RR$ una funzione continua su un aperto $A sube RR^2 $.
Il grafico di una soluzione massimale a destra [o sinistra] dell'equazione differenziale
$y'=f(x,y)$
non può essere contenuto in un sottoinsieme limitato e chiuso di $A$."
Quello che non capisco:
$1)$ Qual è il legame tra il dominio ed il codominio della funzione soluzione massimale ed il dominio di $A$? Non riesco bene a figurarmi il dominio di $A$ e la funzione $f$.
$2)$ Cosa si intende con: "il grafico di una soluzione massimale non può essere contenuto in un sottoinsieme limitato e chiuso di $A$" ?
Grazie a chi saprà aiutarmi a comprendere!!
Ho un dubbio sul teorema di Kamke, che illustro:
"Sia $f:A->RR$ una funzione continua su un aperto $A sube RR^2 $.
Il grafico di una soluzione massimale a destra [o sinistra] dell'equazione differenziale
$y'=f(x,y)$
non può essere contenuto in un sottoinsieme limitato e chiuso di $A$."
Quello che non capisco:
$1)$ Qual è il legame tra il dominio ed il codominio della funzione soluzione massimale ed il dominio di $A$? Non riesco bene a figurarmi il dominio di $A$ e la funzione $f$.
$2)$ Cosa si intende con: "il grafico di una soluzione massimale non può essere contenuto in un sottoinsieme limitato e chiuso di $A$" ?
Grazie a chi saprà aiutarmi a comprendere!!
Risposte
"ronti":
[quote="gugo82"]
Per capirci, qual è la soluzione massimale del PdC:
$\{ (y^\prime (x) = 1/x), (y(-1) = 0):}$?
Una funzione della forma
$y(x)= ln(x) +c$
in cui
$c in CC$ ?[/quote]
Sarebbe ben strano se un problema che la teoria ti assicura avere una soluzione reale, avesse invece una soluzione complessa, non trovi?
Scusa l'intromissione gugo82 ma non capisco una cosa. Il teorema dice che:
Considerando la EDO:
$y'=1/x$
diciamo che le soluzioni massimali sono della forma
$y(x)= ln(x)+c$
con $c in CC$[nota]$c$ può assumere valore nei reali e nei complessi[/nota]
Notiamo che il teorema è "rispettato" in quanto
${(x,y)∣y=ln(x)+c}sube(RR\\{0})×RR$
Non vedo dove sia il problema, a me sembra tutto giusto
"ronti":
"Sia $f:A->RR$ una funzione continua su un aperto $A sube RR^2 $.
Il grafico di una soluzione massimale a destra [o sinistra] dell'equazione differenziale
$y'=f(x,y)$
non può essere contenuto in un sottoinsieme limitato e chiuso di $A$."
Considerando la EDO:
$y'=1/x$
diciamo che le soluzioni massimali sono della forma
$y(x)= ln(x)+c$
con $c in CC$[nota]$c$ può assumere valore nei reali e nei complessi[/nota]
Notiamo che il teorema è "rispettato" in quanto
${(x,y)∣y=ln(x)+c}sube(RR\\{0})×RR$
Non vedo dove sia il problema, a me sembra tutto giusto
Il problema è ben prima delle equazioni differenziali, la domanda da porsi è: "Quali sono le primitive di $\frac{1}{x}$ per $x\in(-\infty,0)$?".
"Mephlip":
Il problema è ben prima delle equazioni differenziali, la domanda da porsi è: "Quali sono le primitive di $\frac{1}{x}$ per $x\in(-\infty,0)$?".
MODIFICA: Avevo scritto una gran cavolata, ho ri-risposto sotto
"gugo82":
Per capirci, qual è la soluzione massimale del PdC:
$\{ (y^\prime (x) = 1/x), (y(-1) = 0):}$?
$y(x)=ln(x)+c$
$0=ln(-1)+c$
$ln(-1)= -c$
sapendo che... $e^(ipi)=-1$ ...allora
$ln(-1) =ipi$
e quindi
$c=-ipi$
La funzione soluzione è
$y(x)=ln(x)-ipi$
No, hai primitive nei reali negativi perché, se $x<0$, si ha $-x>0$ e dunque è definito $\log(-x)$; risulta poi
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x} \left[\log(-x)+c\right]=\frac{1}{-x}(-1)+0=\frac{1}{x}$$
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x} \left[\log(-x)+c\right]=\frac{1}{-x}(-1)+0=\frac{1}{x}$$
@ ronti: Bene, quindi abbiamo una funzione continua, $x |-> 1/x$, definita in un intervallo, $]-oo, 0[$, che contro ogni teorema di Analisi I non ha una primitiva reale, per trovare la quale bisogna passare ad una funzione nel campo complesso...
Ma $y(x) = log (-x)$ fa proprio così schifo?
Questo mostra che la conoscenza dei problemi del Calcolo Integrale non va oltre l'uso meccanico della nota formula $int 1/x\ "d"x = log|x| + c$, di cui non è nota un'interpretazione coerente col quadro teorico di riferimento.[nota]Che, detto in altri termini, significa: "non è noto cosa significhi quella formula".[/nota]
@anonymous_f3d38a: Il problema è duplice:
Ma $y(x) = log (-x)$ fa proprio così schifo?
Questo mostra che la conoscenza dei problemi del Calcolo Integrale non va oltre l'uso meccanico della nota formula $int 1/x\ "d"x = log|x| + c$, di cui non è nota un'interpretazione coerente col quadro teorico di riferimento.[nota]Che, detto in altri termini, significa: "non è noto cosa significhi quella formula".[/nota]
@anonymous_f3d38a: Il problema è duplice:
- [*:i8gicu66] pretendere di capire qualcosa di "avanzato" senza conoscere decentemente le basi (vedi capoverso "Questo mostra..." più sopra),
[/*:m:i8gicu66]
[*:i8gicu66] usare il fetentissimo WolframAlpha per risolvere i problemi, senza capire che il risultato di un software va sempre interpretato -e corretto, quando è il caso- alla luce delle proprie conoscenze.[/*:m:i8gicu66][/list:u:i8gicu66]
Una persona che ragiona in questo modo si può classificare come studente?
Quello di cui sto parlando è un argomento basilare, non sto affrontando argomenti avanzati!
Sono concetti da primo anno di ingegneria.
Ovviamente ammetto che ho enormi lacune e che non ho compreso tantissime cose. Su questo siamo d'accordo, è lampante.
Ad ogni modo, ho un ultimo dubbio.
La funzione:
$y(x)=ln(x)- ipi$
E' una funzione che ha dominio nei reali e immagine nei complessi.
Quando si dice che una funzione è "nel campo complesso"?
E' sufficiente che assuma valori (immagine) nei complessi?
Sono concetti da primo anno di ingegneria.
Ovviamente ammetto che ho enormi lacune e che non ho compreso tantissime cose. Su questo siamo d'accordo, è lampante.
Ad ogni modo, ho un ultimo dubbio.
La funzione:
$y(x)=ln(x)- ipi$
E' una funzione che ha dominio nei reali e immagine nei complessi.
Quando si dice che una funzione è "nel campo complesso"?
E' sufficiente che assuma valori (immagine) nei complessi?
"ronti":
Quello di cui sto parlando è un argomento basilare, non sto affrontando argomenti avanzati!
Sono concetti da primo anno di ingegneria.
Ovviamente ammetto che ho enormi lacune e che non ho compreso tantissime cose. Su questo siamo d'accordo, è lampante.
Ad ogni modo, ho un ultimo dubbio.
La funzione:
$y(x)=ln(x)- ipi$
E' una funzione che ha dominio nei reali e immagine nei complessi.
Quando si dice che una funzione è "nel campo complesso"?
E' sufficiente che assuma valori (immagine) nei complessi?
Sì, intendevo una funzione a valori complessi.
Tuttavia, è una forzatura (e, oltre ad essere incomprensibile ad uno studente del primo anno e irreperibile su qualsiasi testo decente di Analisi I e II, coincide misteriosamente col risultato proposto da WolframAlpha... Un caso?), perché i teoremi classici del Calcolo Integrale (quali?) ti assicurano che il problema di Cauchy:
$\{(y^\prime (x) = 1/x), (y(-1) = 0):}$
ha una soluzione definita in $RR$ ed a valori in $RR$ e che tale funzione è determinabile senza ricorrere in alcun modo a funzioni complesse (come si fa?).
Questi sono argomenti da Analisi I, dovresti conoscerli. Prova ad argomentare.
P.S.: Anche se semplici (da primo anno, diciamo Analisi II), alcuni argomenti riguardanti le proprietà delle soluzioni delle EDO non sono affatto banali e possono senz'altro essere inseriti tra gli argomenti "avanzati".
@ gugo82
Super gugo82...
Ciao training,
Mi permetto di dare qualche piccolo suggerimento agli "studenti di oggi", poi fatene l'uso che ritenete più opportuno:
1) Cercate prima di formarvi delle solide basi studiando su un buon testo di Analisi matematica. WolframAlpha è uno strumento e come tale va usato e criticamente interpretato: tenete presente che la nostra generazione è cresciuta senza tale strumento e bene o male siamo sopravvissuti ai diversi esami di Analisi matematica (3 nel mio caso...) e ci siamo laureati...
2) Soprattutto se siete agli inizi, cercate di non usare WolframAlpha e, se proprio non potete farne a meno, fatelo solo per trovare una conferma alle Vostre idee e ai Vostri risultati, non prendete per oro colato quello che il software vi dice.
3) WolframAlpha, come tutti i software, ha delle regole sintattiche che occorre conoscere se lo si vuole usare proficuamente. Solo un esempio: per WolframAlpha l'unità immaginaria è $i$, se tipicamente il vostro docente usa $j $ come unità immaginaria dovete scrivere $i$ sulle formule in WolframAlpha, altrimenti il software non capisce ed interpreta diversamente...
4) Soprattutto se state studiando Analisi matematica I o II, tenete presente che lavorate nella stragrande maggioranza dei casi con funzioni reali di variabili reali, mentre WolframAlpha lavora nel campo dei complessi a meno che non gli specifichiate diversamente, e già questo dovrebbe dirvela lunga sulla necessità di interpretare i risultati di un software (di qualsiasi software a dire la verità, non soltanto di WolframAlpha...) ed eventualmente correggerli alla luce delle Vostre conoscenze.
Mi permetto di dare qualche piccolo suggerimento agli "studenti di oggi", poi fatene l'uso che ritenete più opportuno:
1) Cercate prima di formarvi delle solide basi studiando su un buon testo di Analisi matematica. WolframAlpha è uno strumento e come tale va usato e criticamente interpretato: tenete presente che la nostra generazione è cresciuta senza tale strumento e bene o male siamo sopravvissuti ai diversi esami di Analisi matematica (3 nel mio caso...) e ci siamo laureati...
2) Soprattutto se siete agli inizi, cercate di non usare WolframAlpha e, se proprio non potete farne a meno, fatelo solo per trovare una conferma alle Vostre idee e ai Vostri risultati, non prendete per oro colato quello che il software vi dice.
3) WolframAlpha, come tutti i software, ha delle regole sintattiche che occorre conoscere se lo si vuole usare proficuamente. Solo un esempio: per WolframAlpha l'unità immaginaria è $i$, se tipicamente il vostro docente usa $j $ come unità immaginaria dovete scrivere $i$ sulle formule in WolframAlpha, altrimenti il software non capisce ed interpreta diversamente...
4) Soprattutto se state studiando Analisi matematica I o II, tenete presente che lavorate nella stragrande maggioranza dei casi con funzioni reali di variabili reali, mentre WolframAlpha lavora nel campo dei complessi a meno che non gli specifichiate diversamente, e già questo dovrebbe dirvela lunga sulla necessità di interpretare i risultati di un software (di qualsiasi software a dire la verità, non soltanto di WolframAlpha...) ed eventualmente correggerli alla luce delle Vostre conoscenze.
Mi trovi d'accordo al 100%
@ronti: Dopo 4 pagine di discussione, cosa hai capito e cosa no?
"vict85":
@ronti: Dopo 4 pagine di discussione, cosa hai capito e cosa no?
Beh, fossimo almeno arrivati al punto... Ci siamo fermati prima, su lacune di base.
"gugo82":
[quote="vict85"]@ronti: Dopo 4 pagine di discussione, cosa hai capito e cosa no?
Beh, fossimo almeno arrivati al punto... Ci siamo fermati prima, su lacune di base.[/quote]
Volevo cercare di capire cosa pensava di aver capito, prerequisiti inclusi.
Per esempio, @Ronti
1) Qual'è il grafico della funzione \(y(x) = x^2\)? E quello della funzione definita dall'equazione \(\log\bigl(y(x)\bigr) + x = 0\)?
2) Qual'è il dominio della funzione \[ y(x) = \frac{\log(x^2 + 4) + (x + 5)^3 }{\bigl(x + \sin(x)\bigr)^3(x + 3)}\]. Più che la soluzione in sé, mi interessa vedere che imposti giuste le equazioni/disequazioni.
3) Quale teorema afferma che il problema di Cauchy di gugo82 ha una soluzione (unica) in un intorno di \(-1\)?
Alle domande di vict85, ottime, mi permetto di aggiungere:
4) Qual è il dominio di:
$f(x,y) := (log(x^2 + 4) + (x + 5)^3)/((x + sin x)^3 (x + 3))$?
4) Qual è il dominio di:
$f(x,y) := (log(x^2 + 4) + (x + 5)^3)/((x + sin x)^3 (x + 3))$?
"vict85":
[quote="gugo82"][quote="vict85"]@ronti: Dopo 4 pagine di discussione, cosa hai capito e cosa no?
Beh, fossimo almeno arrivati al punto... Ci siamo fermati prima, su lacune di base.[/quote]
[/quote]
Come ha detto gugo82, ho capito che ho grosse lacune su cui devo lavorare! Purtroppo ho abbandonato gli studi per un anno e pensavo di poter tornare (dopo un anno) su concetti "non basilari" senza troppi problemi...bhé, mi sbagliavo!
Ora sono fuori casa vict85, oggi pomeriggio appena torno a casa ti rispondo con molto piacere
EDIT: Chiedo scusa, oggi non ce l'ho proprio fatta. In questi giorni sto lavorando più del previsto. Riprovo domani sera.
"vict85":
1) Qual'è il grafico della funzione \(y(x) = x^2\)? E quello della funzione definita dall'equazione \(\log\bigl(y(x)\bigr) + x = 0\)?
$y(x) = x^2 rArr$ grafico= $ {(x,y)∣y=x^2} in RR^2$
$log(y(x)) + x = 0 rArr log(y(x)) = - x rArr y(x)=e^(-x) rArr $ grafico = $ {(x,y)∣y(x)=e^(-x)} in RR^2$
"vict85":
2) Qual'è il dominio della funzione \[ y(x) = \frac{\log(x^2 + 4) + (x + 5)^3 }{\bigl(x + \sin(x)\bigr)^3(x + 3)}\]. Più che la soluzione in sé, mi interessa vedere che imposti giuste le equazioni/disequazioni.
Equazioni/disequazioni da impostare per trovare il dominio:
$ { ( x^2+4 >0 ),( (x+sin(x))^3 !=0 ),( x!= -3 ):} $
EDIT: che equivale a scrivere:
$ { ( x!=0 ),( x!=-3 ):} $
che implica
Dominio= $(-oo,-3)uu (-3,0) uu (0, +oo)$
"vict85":
3) Quale teorema afferma che il problema di Cauchy di gugo82 ha una soluzione (unica) in un intorno di \(-1\)?
Per quanto riguarda l'esistenza di almeno una soluzione, il teorema è quello di Peano. Per avere l'unicità bisogna aggiungere la condizione di lipschitzianità.
Il nome del teorema dovrebbe essere di Cauchy-Lipschitz o di Peano con aggiunta della condizione di Lipschitz
"gugo82":
Alle domande di vict85, ottime, mi permetto di aggiungere:
4) Qual è il dominio di:
$f(x,y) := (log(x^2 + 4) + (x + 5)^3)/((x + sin x)^3 (x + 3))$?
Dominio = $D= {(x,y) in RR^2 : x in (-oo,-3)uu (-3,0) uu (0, +oo)} sub RR^2$
"ronti":
[quote="gugo82"]Alle domande di vict85, ottime, mi permetto di aggiungere:
4) Qual è il dominio di:
$f(x,y) := (log(x^2 + 4) + (x + 5)^3)/((x + sin x)^3 (x + 3))$?
Dominio = $D= {(x,y) in RR^2 : x in (-oo,-3)uu (-3,0) uu (0, +oo)} sub RR^2$[/quote]
e aggiungo che il grafico è:
$G(f)= {(x,y,z) : z= (log(x^2 + 4) + (x + 5)^3)/((x + sin x)^3 (x + 3))} sub RR^3$
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