Teorema di inversione del limite con il segno di integrale
come preannunciato nel titolo ho un esercizio dove devo applicare il teorema di inversione del limite con il segno di integrale e dimostrare (dopo aver calcolato i valori ) perchè questa disuguaglianza non è valida. $ lim_(y -> 0^+) int_(0)^(1) e^(-x^2/y^2)x/y^2 dx != int_(0)^(1)lim_(y -> 0^+)( e^(-x^2/y^2)x/y^2 )dx $ e ho verificato che $ 1/2 != 0 $ .
ora le ipotesi del teorema dicono che la funzione integranda sia continua : e lo è per composizioni di funzioni continue
che la variabile di integrazione sia definita in un compatto e x lo è
che la variabile di cui si calcola il limite appartiene ad un intervallo : anche e lo è ]0,+inf[
come mai allora il teorema non è valido?
ora le ipotesi del teorema dicono che la funzione integranda sia continua : e lo è per composizioni di funzioni continue
che la variabile di integrazione sia definita in un compatto e x lo è
che la variabile di cui si calcola il limite appartiene ad un intervallo : anche e lo è ]0,+inf[
come mai allora il teorema non è valido?
Risposte
Ti manca da verificare una ipotesi.
giusto ho verificato che non è continua in un intorno di 0
Tanto per dirne una, nota che:
\[
\int_0^1 \exp \left( - \frac{x^2}{y^2}\right)\ \frac{x}{y^2}\ \text{d} x \stackrel{t=x/y}{=} \int_0^{1/y} e^{-t^2}\ t^2\ \frac{1}{ty}\ y\ \text{d}t = \int_0^{1/y} t\ e^{-t^2}\ \text{d} t
\]
sicché:
\[
\lim_{y\to 0^+} \int_0^1 \exp \left( - \frac{x^2}{y^2}\right)\ \frac{x}{y^2}\ \text{d} x = \lim_{y\to 0^+} \int_0^{1/y} t\ e^{-t^2}\ \text{d} t = \int_0^\infty t\ e^{-t^2}\ \text{d} t = I
\]
con \(0 D'altra parte:
\[
\lim_{y\to 0^+} \exp \left( - \frac{x^2}{y^2}\right)\ \frac{x}{y^2} = 0
\]
per ogni \(x\in [0,1]\), ergo:
\[
\int_0^1 \lim_{y\to 0^+} \exp \left( - \frac{x^2}{y^2}\right)\ \frac{x}{y^2}\ \text{d} x = 0\; .
\]
\[
\int_0^1 \exp \left( - \frac{x^2}{y^2}\right)\ \frac{x}{y^2}\ \text{d} x \stackrel{t=x/y}{=} \int_0^{1/y} e^{-t^2}\ t^2\ \frac{1}{ty}\ y\ \text{d}t = \int_0^{1/y} t\ e^{-t^2}\ \text{d} t
\]
sicché:
\[
\lim_{y\to 0^+} \int_0^1 \exp \left( - \frac{x^2}{y^2}\right)\ \frac{x}{y^2}\ \text{d} x = \lim_{y\to 0^+} \int_0^{1/y} t\ e^{-t^2}\ \text{d} t = \int_0^\infty t\ e^{-t^2}\ \text{d} t = I
\]
con \(0 D'altra parte:
\[
\lim_{y\to 0^+} \exp \left( - \frac{x^2}{y^2}\right)\ \frac{x}{y^2} = 0
\]
per ogni \(x\in [0,1]\), ergo:
\[
\int_0^1 \lim_{y\to 0^+} \exp \left( - \frac{x^2}{y^2}\right)\ \frac{x}{y^2}\ \text{d} x = 0\; .
\]
