Teorema di inversione del limite con il segno di integrale

[dragonspirit1]

come preannunciato nel titolo ho un esercizio dove devo applicare il teorema di inversione del limite con il segno di integrale e dimostrare (dopo aver calcolato i valori ) perchè questa disuguaglianza non è valida. $ lim_(y -> 0^+) int_(0)^(1) e^(-x^2/y^2)x/y^2 dx != int_(0)^(1)lim_(y -> 0^+)( e^(-x^2/y^2)x/y^2 )dx $ e ho verificato che $ 1/2 != 0 $ .

ora le ipotesi del teorema dicono che la funzione integranda sia continua : e lo è per composizioni di funzioni continue
che la variabile di integrazione sia definita in un compatto e x lo è
che la variabile di cui si calcola il limite appartiene ad un intervallo : anche e lo è ]0,+inf[

come mai allora il teorema non è valido?

[dissonance]

Ti manca da verificare una ipotesi.

[dragonspirit1]

giusto ho verificato che non è continua in un intorno di 0

[gugo82]

Tanto per dirne una, nota che:
\[
\int_0^1 \exp \left( - \frac{x^2}{y^2}\right)\ \frac{x}{y^2}\ \text{d} x \stackrel{t=x/y}{=} \int_0^{1/y} e^{-t^2}\ t^2\ \frac{1}{ty}\ y\ \text{d}t = \int_0^{1/y} t\ e^{-t^2}\ \text{d} t
\]
sicché:
\[
\lim_{y\to 0^+} \int_0^1 \exp \left( - \frac{x^2}{y^2}\right)\ \frac{x}{y^2}\ \text{d} x = \lim_{y\to 0^+} \int_0^{1/y} t\ e^{-t^2}\ \text{d} t = \int_0^\infty t\ e^{-t^2}\ \text{d} t = I
\]
con \(0 D'altra parte:
\[
\lim_{y\to 0^+} \exp \left( - \frac{x^2}{y^2}\right)\ \frac{x}{y^2} = 0
\]
per ogni \(x\in [0,1]\), ergo:
\[
\int_0^1 \lim_{y\to 0^+} \exp \left( - \frac{x^2}{y^2}\right)\ \frac{x}{y^2}\ \text{d} x = 0\; .
\]