Teorema di integrazione funzione radiale

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Salve a tutti, sono alle prese con gli spazi $\L^p$ e su un controesempio ho trovato un teorema che afferma che se ho una funzione radiale $\f:R^n->R$, $\f$ è integrabile se e solo se $\rho^(n-1)*|f|=\rho^-1$ dove $\rho$ indica il raggio della mia funzione radiale. La Prof. l'ha perfino chiamato teorema di Fubini, sicuramente non è quello classico...

Sapreste darmi informazioni su questo teorema?
Come premio vi spiegherò in cosa consiste il controesempio, è interessante, nega l'inclusione di una funzione in $\L^p$ in $\L^q$ quando lo spazio di misura ha misura infinita dove $\1<=q

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gugo82

7 mar 2017, 11:30

Una funzione radiale è sommabile in una palla $B(\mathbf{0};R)$ solo se è integrabile la funzione positiva $\rho^{N-1} |f(\rho)|$ nell'intervallo $(0,R)$.
Ciò segue dalla formula delle coordinate polari in $\RR^N$ (cfr. Evans, Partial Differential Equations, Appendix C.3), che per funzioni radiali implica:
\[
\int_{B(\mathbf{0};R)} |f(\mathbf{x})|\ \text{d}\mathbf{x} = N\omega_N\ \int_0^R \rho^{N-1}\ |f(\rho)|\ \text{d}\rho\; ,
\]
in cui $\omega_N = \text{misura della palla unitaria } B(\mathbf{0};1)$.

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7 mar 2017, 13:29

"gugo82":Una funzione radiale è sommabile in una palla $B(\mathbf{0};R)$ solo se è integrabile la funzione positiva $\rho^{N-1} |f(\rho)|$ nell'intervallo $(0,R)$.
Ciò segue dalla formula delle coordinate polari in $\RR^N$ (cfr. Evans, Partial Differential Equations, Appendix C.3), che per funzioni radiali implica:
\[
\int_{B(\mathbf{0};R)} |f(\mathbf{x})|\ \text{d}\mathbf{x} = N\omega_N\ \int_0^R \rho^{N-1}\ |f(\rho)|\ \text{d}\rho\; ,
\]
in cui $\omega_N = \text{misura della palla unitaria } B(\mathbf{0};1)$.

nel mio caso $\rho^{N-1} |f(\rho)|$ viene $\1/rho$ che non è integrabile, mentre negli appunti ho scritto che è integrabile...

Vabbè vi spiego per bene questo controesempio, in poche parole considero la funzione $\f(x)=1+|x|^-(n/p)$ voglio dimostrare che è $\L^p$ ma non $\L^q$ con $\1<=q quindi $\|f|^p=f^p=(1+|x|^(-n/p))^p$ $\approx $ $\|x||->\infty$ $\|x|^(-n)$
se in questo caso applico il teorema da te citato ottengo che $\|x|^(-n)$ è integrabile se $|x|^(-1)$ è integrabile.
ora $\|f|^q=f^q=(1+|x|^(-n/p))^q$ $\approx $ $\|x||->\infty$ $\|x|^(-qn/p)$ poichè$q/p<1$ ottengo che $\|x|^(-qn/p)$ è integrabile se $|x|^(-\alpha)$ è integrabile, con $\|alpha|<1$.

Ecco io nei miei appunto ho scritto che nel primo caso la funzione è integrabile mentre nel secondo non lo è, appoggiandomi ad un teorema di fubini. é possibile? o è tutto sbagliato?

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gugo82

7 mar 2017, 13:44

Molto probabilmente hai sbagliato a scrivere la funzione, perché \((1+|x|^{-N/p})^p \approx 1\) per $|x|\to \infty$ e quindi col cavolo che la integri...

Probabilmente volevi scrivere $f(x)=(1+|x|)^{-N/p}$, ma anche in questo caso non va, perché:
\[
\| f\|_{p,\mathbb{R}^N} = N\omega_N\ \int_0^\infty \frac{\rho^{N-1}}{(1+\rho)^N}\ \text{d}\rho
\]
e l'integrando non è sommabile in $\infty$ (infinitesimo d'ordine $1$), quindi \(f\notin L^p\). Analogamente si vede che la funzione non è in $L^q$ per nessun $q D'altra parte, però, $f\in L^q$ con $p \[
\| f\|_{q,\mathbb{R}^N} = N\omega_N\ \int_0^\infty \frac{\rho^{N-1}}{(1+\rho)^{Nq/p}}\ \text{d}\rho
\]
ed intorno a $\infty$ hai:
\[
\frac{\rho^{N-1}}{(1+\rho)^{Nq/p}} \approx \frac{1}{\rho^{(N\frac{q}{p} - N) +1}}
\]
infinitesimo d'ordine $1+N\frac{q-p}{p} > 1$.

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7 mar 2017, 14:05

esatto, mi ero perso nel latex dalla fretta di andare a studiare
Quindi ricapitolando è possibile che come controesempio abbia riportato l'ultimo caso che hai scritto?

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gugo82

7 mar 2017, 15:17

E boh... Mica c'ero io a lezione!

Dipende dal discorso che stavate facendo.

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7 mar 2017, 20:17

"gugo82":E boh... Mica c'ero io a lezione!

Dipende dal discorso che stavate facendo.

Beh allora ti riformulo la domanda così :
se mi chiedessero un controesempio di una funzione $\f$ in $L^p$ ma non $\L^q$ con $\q
PS GRAZIE!

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[gugo82]

Una funzione radiale è sommabile in una palla $B(\mathbf{0};R)$ solo se è integrabile la funzione positiva $\rho^{N-1} |f(\rho)|$ nell'intervallo $(0,R)$.
Ciò segue dalla formula delle coordinate polari in $\RR^N$ (cfr. Evans, Partial Differential Equations, Appendix C.3), che per funzioni radiali implica:
\[
\int_{B(\mathbf{0};R)} |f(\mathbf{x})|\ \text{d}\mathbf{x} = N\omega_N\ \int_0^R \rho^{N-1}\ |f(\rho)|\ \text{d}\rho\; ,
\]
in cui $\omega_N = \text{misura della palla unitaria } B(\mathbf{0};1)$.

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"gugo82":Una funzione radiale è sommabile in una palla $B(\mathbf{0};R)$ solo se è integrabile la funzione positiva $\rho^{N-1} |f(\rho)|$ nell'intervallo $(0,R)$.
Ciò segue dalla formula delle coordinate polari in $\RR^N$ (cfr. Evans, Partial Differential Equations, Appendix C.3), che per funzioni radiali implica:
\[
\int_{B(\mathbf{0};R)} |f(\mathbf{x})|\ \text{d}\mathbf{x} = N\omega_N\ \int_0^R \rho^{N-1}\ |f(\rho)|\ \text{d}\rho\; ,
\]
in cui $\omega_N = \text{misura della palla unitaria } B(\mathbf{0};1)$.

nel mio caso $\rho^{N-1} |f(\rho)|$ viene $\1/rho$ che non è integrabile, mentre negli appunti ho scritto che è integrabile...

Vabbè vi spiego per bene questo controesempio, in poche parole considero la funzione $\f(x)=1+|x|^-(n/p)$ voglio dimostrare che è $\L^p$ ma non $\L^q$ con $\1<=q quindi $\|f|^p=f^p=(1+|x|^(-n/p))^p$ $\approx $ $\|x||->\infty$ $\|x|^(-n)$
se in questo caso applico il teorema da te citato ottengo che $\|x|^(-n)$ è integrabile se $|x|^(-1)$ è integrabile.
ora $\|f|^q=f^q=(1+|x|^(-n/p))^q$ $\approx $ $\|x||->\infty$ $\|x|^(-qn/p)$ poichè$q/p<1$ ottengo che $\|x|^(-qn/p)$ è integrabile se $|x|^(-\alpha)$ è integrabile, con $\|alpha|<1$.

Ecco io nei miei appunto ho scritto che nel primo caso la funzione è integrabile mentre nel secondo non lo è, appoggiandomi ad un teorema di fubini. é possibile? o è tutto sbagliato?

[gugo82]

Molto probabilmente hai sbagliato a scrivere la funzione, perché \((1+|x|^{-N/p})^p \approx 1\) per $|x|\to \infty$ e quindi col cavolo che la integri...

Probabilmente volevi scrivere $f(x)=(1+|x|)^{-N/p}$, ma anche in questo caso non va, perché:
\[
\| f\|_{p,\mathbb{R}^N} = N\omega_N\ \int_0^\infty \frac{\rho^{N-1}}{(1+\rho)^N}\ \text{d}\rho
\]
e l'integrando non è sommabile in $\infty$ (infinitesimo d'ordine $1$), quindi \(f\notin L^p\). Analogamente si vede che la funzione non è in $L^q$ per nessun $q D'altra parte, però, $f\in L^q$ con $p \[
\| f\|_{q,\mathbb{R}^N} = N\omega_N\ \int_0^\infty \frac{\rho^{N-1}}{(1+\rho)^{Nq/p}}\ \text{d}\rho
\]
ed intorno a $\infty$ hai:
\[
\frac{\rho^{N-1}}{(1+\rho)^{Nq/p}} \approx \frac{1}{\rho^{(N\frac{q}{p} - N) +1}}
\]
infinitesimo d'ordine $1+N\frac{q-p}{p} > 1$.

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esatto, mi ero perso nel latex dalla fretta di andare a studiare
Quindi ricapitolando è possibile che come controesempio abbia riportato l'ultimo caso che hai scritto?

[gugo82]

E boh... Mica c'ero io a lezione!

Dipende dal discorso che stavate facendo.

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"gugo82":E boh... Mica c'ero io a lezione!

Dipende dal discorso che stavate facendo.

Beh allora ti riformulo la domanda così :
se mi chiedessero un controesempio di una funzione $\f$ in $L^p$ ma non $\L^q$ con $\q
PS GRAZIE!