Teorema di Fubini

[Seneca1]

Teorema. Siano $(X, \mathcal{A} , \mu)$,$(Y, \mathcal{B} , \nu)$ spazi con misura completi e $f : X \times Y -> [-oo, +oo]$ integrabile nello spazio prodotto. Allora vale
1) $f_x (y)$ (cioè $f$ vista come funzione della sola $y$) è $nu$-integrabile per q.o. $x \in X$.
2) $\int_Y f_x(y) d \nu(y)$ è $mu$-integrabile.
3) [Formula di riduzione]

In particolare a me interessano i primi due punti. La dimostrazione che ho visto procede per approssimazione: si dimostra il teorema per funzioni caratteristiche e quindi per funzioni semplici. Dopodiché si considera $f >= 0$ qualunque (che soddisfi le ipotesi); sicuramente esiste una successione crescente di funzioni semplici $\varphi_n$ che converge a $f$. Quindi $\text{sup}_n \varphi_n = f$; inoltre è abbastanza evidente che $\text{sup}_n (\varphi_n)_x = f_x$ . Sapendo che per $\varphi_n$ valgono 1),2),3), come si dimostrano i punti 1) e 2) per $f >= 0$?

[Rigel1]

Nell'enunciato manca l'ipotesi che gli spazi siano di misura \(\sigma\)-finita.
Riguardo alla domanda, una volta dimostrato il teorema nel caso di funzioni caratteristiche, in genere si passa al caso di funzioni non negative usando il teorema di convergenza monotona.
Sul libro di Cannarsa - D'Aprile, "Introduzione alla teoria della misura e all'analisi funzionale" trovi una esposizione molto chiara.

[Seneca1]

Ti ringrazio per la risposta. Che io sappia però l'ipotesi della $sigma$-finitezza serve nel teorema di Tonelli (quando si parla di funzioni solo misurabili e non necessariamente integrabili), non in quello di Fubini. $f$ è presa nonnegativa solo per semplicità.

In ogni caso non mi è chiaro come dimostrare la 1).

[Rigel1]

"Seneca":Ti ringrazio per la risposta. Che io sappia però l'ipotesi della $sigma$-finitezza serve nel teorema di Tonelli (quando si parla di funzioni solo misurabili e non necessariamente integrabili), non in quello di Fubini. $f$ è presa nonnegativa solo per semplicità.

E' vero, hai ragione (ormai i miei neuroni cominciano a fare acqua...).
Torniamo alla tua domanda (sperando di non fare troppo macello nella risposta).
Poiché \(f\geq 0\) è integrabile in \(X\times Y\), anche ogni \(\varphi_n\) lo è. Inoltre, poiché hai già dimostrato il teorema per le funzioni semplici, hai che
\[
\int_{X\times Y} \varphi_n d(\mu\times \nu) = \int_X \left[\int_Y \varphi_n (x,y) d\nu(y)\right]d\mu(x).
\]
Passando al limite, per il teorema di convergenza monotona il primo membro converge a
\[
\int_{X\times Y} f d(\mu\times\nu).
\]
Rimane da dimostrare che
\[
(1) \qquad \lim_{n\to+\infty} \int_X \left[\int_Y \varphi_n (x,y) d\nu(y)\right]d\mu(x)
= \int_X \left[\int_Y f (x,y) d\nu(y)\right]d\mu(x).
\]
I due membri scritti sopra non cambiano se eliminiamo un insieme di misura \(\mu\times\nu\) nulla da \(X\times Y\); possiamo dunque supporre che \(\varphi_n(x,\cdot)\) sia \(\nu\)-integrabile in \(Y\) per ogni \(x\in X\).
Fissiamo \(x\in X\). Poiché \((\varphi_n(x,\cdot))_n\) converge puntualmente a \(f(x,\cdot)\), concludiamo che \(f(x,\cdot)\) è \(\nu\)-misurabile e, sempre per il teorema di convergenza monotona,
\[
\int_Y f(x,y) d\nu(y) = \lim_n \int_Y \varphi_n(x,y) d\nu(y).
\]
Per ogni \(x\in X\) fissato definiamo ora \(h(x) = \int_Y f(x,y) d\nu(y)\) e \(h_n(x) = \int_Y \varphi_n(x,y) d\nu(y)\). Ogni \(h_n\) è \(\mu\)-integrabile in \(X\); inoltre, \((h_n)_n\) converge monotonamente puntualmente ad \(h\), dunque ancora per il teorema di convergenza monotona si ha
\[
\lim_n \int_X\left[\int_Y \varphi_n(x,y) d\nu(y)\right]d\mu(x) =
\lim_n \int_X h_n d\mu = \int_X h d\mu = \int_X\left[\int_Y f(x,y) d\nu(y)\right] d\mu(x)
\]
dunque (1) è dimostrata.

[Seneca1]

Cercavo proprio questo; grazie!