Teorema di darboux

[pess23]

Ciao ragazzi sono nuovo del forum e avrei bisogno di una mano con il teorema di Darboux,in particolare con la sua dimostrazione.Esso sfrutta quella che il mio libro definisce come la seconda formula dell' incremento finito ovvero:$f((x)-f(xo))/(x-xo) =f ' (xo +k(x-xo))$ . Ora la mia domanda è:nella dimostrazione del teorema si sfrutta il fatto che il termine a destra dell' uguaglianza per x-->xo è uguale al limite per x-->xo della funzione derivata,se questo limite esiste finito.Perchè non vale lo stesso ragionamento se il limite della funzione derivata non esiste o non è finito?Grazie per le eventuali risposte

[pess23]

Mi spiego meglio con un esempio : sia $f [-1,1]->R $$f(x)=(x^2)cos(1/x)$ se x è diverso da zero, $0$ se x=0 Verifico le ipotesi di Lagrange , quindi la continuità nel chiuso e derivabilità nell' aperto.Le ipotesi sono verificate quindi applico la formula dell incremento finito $f((x)-f(xo))/(x-xo)=((x^2)cos(1/x))/x =f '(xo +k(x-xo)=f'(kx)$.Ora il limite per x-->0 di f'(kx) non esiste essendo la derivata per x diverso da 0 =$ 2xcos(1/x) + sin(1/x) $ ma la funzione in 0 è derivabile. Dove sbaglio?

[gugo82]

Non sbagli nulla.

Semplicemente non sei nelle ipotesi di Darboux, perché il limite non esiste.

[pess23]

e ma scusami se non esiste ,con riferimento a quanto scritto sopra, $lim (x->0) f'(kx)$ non dovrebbe esistere nemmeno $lim (x->0) (f(x)-f(xo))/(x-xo)$ visto che vale l uguaglianza e quindi non dovrebbe esistere la derivata...