Teorema di confronto (marcellini-sbordone)

[indovina]

Oggi, ripetendo dal marcellini sbordone gli argomenti per l'esame orale, gli argomenti sono:
Teorema della permanenza del segno, di confronto, dei carabinieri.
Il primo e il terzo l'ho trovati (sono a pag 71-72) con tanti di corollario 1,2 per la permanenza del segno.
Ma non trovo sul libro quella 'di confronto'.
Tuttavia l'ho trovato sugli appunti del prof.
Li riporto, chiedendovi se sia questo.

$H.p$
$lim_(n->+oo)a_n=l_1$ $<$ $lim(n->+oo)b_n=l_2$ esiste $ni:n>ni$

$T.h$
$a_n
dimostrazione:
lim(n->+oo)(a_n-b_n)=l_1-l_2<0

si applica il teorema del segno:
esiste un $ni:n>ni$ $a_n-b_n<0$

se $(a_n)$ converge a $l_1$
se $(b_n)$ converge a $l_2$
e usando il corollario della permanenza del segno applicato a $a_n-b_n$:
dato che per $h.p$ $l_1-l_2=<0$ seguirà che: $a_n-b_n=<0$
dunque: $a_n=
l'ho copiata cosi dal quaderno, secondo voi va bene?
Va scritta meglio?
Grazie

[dissonance]

Riformula bene ipotesi e tesi. Comincio io con l'ipotesi:
$(a_n), (b_n)$ sono successioni di numeri reali tali che $lim_{n\to infty}a_n=l_1, lim_{n\to\infty}b_n=l_2$ e $l_1
Ora fai tu. Riscrivi pure l'ipotesi.

[indovina]

Tesi:
$a_n
poi la dimostrazione incomincia con la differenza delle due successioni
$a_n-b_n$

giusto?

[dissonance]

Giusto?

Per niente. La tesi è falsa. Prendi le successioni

$(a_n)=(1, 0, 0, 0, ...)$;
$(b_n)=(0, 1, 1, 1, ...)$.

Risulta che $lim_{n\to infty}a_n=0$ e $lim_{n\to infty}b_n=1$, quindi secondo la tua scrittura dovrebbe essere anche $a_n
Cosa c'è che non va?

[indovina]

$a_n>b_n$

scusa dissonance, ma allora perchè il prof. ci ha fatto scrivere quella cosa li?
Non riesco a capire.

[dissonance]

Ma no, non è [tex]a_n>b_n[/tex]. Se i limiti verificano una disuguaglianza stretta, anche le successioni devono verificarla, ma definitivamente, a partire da un certo indice [tex]\nu[/tex]. Nell'esempio del mio post precedente, [tex]\nu=2[/tex]. Ma in generale non puoi conoscere esplicitamente questo indice, né ti servirebbe conoscerlo esplicitamente.

[indovina]

Dissonance, non me ne volerne, ma io voglio capire cosa devo dimostrare, la tesi alla fine allora non è quella che riporto io, dunque come devo scriverla?
Sto facendo passo passo tutti gli argomenti, ma non riesco a trovare nè questo, nè il principio di sostituzione sul marcellini-sbordone, e da come ho ormai capito, gli appunti è meglio non toccarli.
Cosa mi suggerisci allora?
Grazie.

[dissonance]

Guarda, il paragrafo che devi conoscere bene su questo argomento è il 21 di Marcellini-Sbordone. Come vedi il teorema più importante è quello della permanenza del segno, da cui seguono due corollari che il mio professore chiamava teoremi di prolungamento delle disuguaglianze. Questi li devi conoscere bene perché sono alla base di tutta l'Analisi.

Invece quello di cui stiamo parlando in questo topic è un esercizio sull'uso del teorema della permanenza del segno. Non ti ci fissare troppo.

Comunque, devi riscrivere la tesi. Io te l'ho scritta a parole nel post precedente:

$a_n
Ora prova a tradurla in formule.

[indovina]

$T.h$

$a_nnu$

mi ci fisso dal momento che voglio capirlo.

Quando dici che è un 'esercizio sull'uso del teorema della permanenza del segno' è vero, perchè dopo nella dimostrazione che ho riportato, bisogna esplicitarlo.

[dissonance]

Non ci siamo ancora. Leggi a voce quello che hai scritto: "$a_n$ è minore di $b_n$ ed esiste un $nu$ tale che $n$ è maggiore di $nu$". Ti sembra ben detto? No: parli di $a_n, b_n$ senza avere specificato chi è $n$. In questo caso il lettore assume implicitamente che per ogni $n$ $a_n$ è minore di $b_n$ , e siamo daccapo a $1<0$ nell'esempio di sopra.

Io direi: come prima cosa devi dire che "esiste $nu$", poi caratterizzarlo con la proprietà "tale che per ogni $n>nu$ risulta essere $a_n

Cita

Segnala

[indovina]

$EE$ $nu$: $AA$ $n>nu$ $rArr$ $a_n

Cita

Segnala