Teorema di Cauchy

[francicko]

Nell'enunciato del teorema in alcuni testi non viene menzionata
la condizione $g'(x) $ diversa da zero per ogni $x $, non capisco il perche', a questo punto mi chiedo quest' ultima condizione e' necessaria affinche' il teorema sia valido?
Potreste darmi qualche delucidazione?
Grazie!

[Emar1]

Immagino che tra i vari teoremi di Cauchy tu intenda quello del valor medio.

Non è necessaria per la validità del teorema. Se si scrive l'enunciato del teorema utilizzando i rapporti incrementali ovviamente, dato che i denominatori non possono annullarsi, si deve aggiungere quell'ipotesi. Guarda qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_valu ... ue_theorem

[francicko]

Grazie, per la risposta!
Ad esempio, non riesco a capire perché nel seguente esercizio:
$f (x)=x^2+3$, ed $g(x )=2x^2$, continue e derivabili nell' intervallo $(-1,3) $, la soluzione mi dice che il teorema di Cauchy non puo' essere applicato perché $g'(x)=0$ per $x=0$, eppure se vado a considerare la forma ausiliaria $f(x)-kg(x)$, dove $k=(28)/(16)=7/4$, ottengo una funzione continua e derivabile nell'intervallo su indicato, che assume uguali valori agli estremi, e per il teorema di Rolle la derivata si annulla almeno in un punto interno di tale intervallo;
Non riesco a capire a questo punto perche' il fatto che $g'(x)=0$ in $x=0$, interno a tale intervallo,non assicura più la validità del teorema.

[Emar1]

Il teorema dal mio punto di vista vale, ma penso sia una questione solo di quale enunciato si considera.

Non ho capito quale sarebbe la contraddizione che dici.

[francicko]

Il testo dell'esercizio tratto da una dispensa online dice espressamente che non e' possibile applicare il teorema di Cauchy, in quanto appunto in $x=0$ la derivata prima della funzione $g (x)$ si annulla;
Pero' dice anche che questo non significa che non esistono soluzioni, anzi ho verificato che la funzione ausiliaria ha due soluzioni che ricadono all'interno dell'intervallo proposto;
L'enunciato dello Zwirner dice:
Se $f (x) $, e $g (x) $, sono due funzioni reali, definite e continue nell'intervallo chiuso $[a,b] $, derivabili internamente e se la derivata $g'(x) $ non so annulla mai, allora esiste almeno un punto $c $, interno ad $[a,b] $, tale che valga la relazione:
$(f (b)-f (a))/(g (b)-g (a))=(f'(c))/(g'(c))$, e qui mi si confondono le idee