Teorema di caratterizzazione del differenziale

[KatieP]

Sto studiando il teorema che dimostra che se la funzione f appartiene alla classe C1 in A aperto, allora f è differenziabile in A. Nel corso della dimostrazione, che abbiamo fatto in R^2, ad un certo punto viene considerata la restrizione della funzione f alla funzione g (che così diventa ad una sola variabile) e a questa viene applicato il teorema di lagrange. Ora il teorema di lagrange contiene come ipotesi la continuità della funzione, ma la funzione f in due variabili non è sicuramente continua! Infatti è di classe C1 in A, il che significa che esistono le derivate prime, ma in R^n la derivaibilità non assicura la continuità. Come possiamo essere certi di poter applicare il teorema di lagrange alla restrizione della funzione? Grazie

[quantunquemente]

ma tu il teorema di Lagrange lo applichi alle restrizioni che sono funzioni di una variabile e soddisfano le ipotesi richieste

comunque ,il fatto che la funzione sia di classe $C^1$ vuol dire che le derivate parziali prime non solo esistono ma sono anche continue: ciò è essenziale per la dimostrazione del teorema

[KatieP]

Sì, ma se per esempio la funzione in due variabili non fosse continua in un punto (x,y) e fosse però derivabile nel punto, sarebbe ancora di classe C1. Quando considero la restrizione della funzione f, nel punto (x,y) neanche la restrizione sarà continua , quindi il teorema di lagrange non applicabile....quindi perché si dá per scontato che il teorema si possa applicare? Cosa mi assicura la continuità delle restrizioni delle funzioni?

[quantunquemente]

per ipotesi la funzione ammette derivate parziali in un intorno del punto $(x_0,y_0)$
quindi,le restrizioni sono derivabili in un intorno del punto $x_0$ e $y_0$ rispettivamente : tanto basta per poter applicare Lagrange