Teorema di Cantor

liam-lover
Vorrei che mi toglieste un dubbio. Non mi è chiaro perché il teorema di Cantor ( = una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] è uniformemente continua in [a, b]) sia valido. Probabilmente sto dimenticando un dettaglio, o credo di aver capito la definizione di uniforme continuità quando in realtà mi sfugge qualcosa.

Spero di non star dicendo cavolate, ma parlando in termini di grafico una funzione uniformemente continua è una funzione che, scelto un intervallo molto piccolo [a, b] nel dominio, non dovrebbe "inclinarsi" (fatemelo passare) troppo velocemente tra f(a) ed f(b), cioè le sue immagini non dovrebbero avere una distanza troppo grande rispetto alla distanza dei punti. Giusto?

Se però, ad esempio, prendo sin(1/x), che non è uniformemente continua in (0, 1], e considero un qualsiasi intervallo [a, b] chiuso e limitato con a e b strettamente compresi tra 0 ed 1, la funzione è continua in quell'intervallo, ma non uniformemente continua.
Ha senso?

Risposte
anto_zoolander
"maxira":
tra f(a) ed f(b)

non è detto che sia compresa tra $f(a)$ e $f(b)$. Comunque L'uniforme continuità ti dice in sostanza che le immagini hanno distanza arbitraria per ogni coppia di punti sufficientemente vicini.

La pendenza non c'entra molto: prendi la funzione $f(x)=root(3)(x)$ in qualsiasi intervallo chiuso $[-r,r]$, con $r>0$; per il teorema di heine-cantor è uniformemente continua, nonostante in $x=0$ abbia una tangenza verticale.

otta96
"maxira":
Spero di non star dicendo cavolate, ma parlando in termini di grafico una funzione uniformemente continua è una funzione che, scelto un intervallo molto piccolo [a, b] nel dominio, non dovrebbe "inclinarsi" (fatemelo passare) troppo velocemente tra f(a) ed f(b), cioè le sue immagini non dovrebbero avere una distanza troppo grande rispetto alla distanza dei punti. Giusto?

Qui ti stai confondendo con una condizione più stringente dell'uniformemente continuità: la lipschitzianità.

Se però, ad esempio, prendo sin(1/x), che non è uniformemente continua in (0, 1], e considero un qualsiasi intervallo [a, b] chiuso e limitato con a e b strettamente compresi tra 0 ed 1, la funzione è continua in quell'intervallo, ma non uniformemente continua.
Ha senso?

Si ha senso perchè la funzione $\sin(1/x)$
è una funzione che si comporta in modo strano SOLO in un qualsiasi intorno (bucato) di $0$. Per "si comporta in modo strano" intendo che non è uniformemente continua, e questo è perché vicino a $0$ si mette ad oscillare come una forsennata, però una volta che ti distacchi (anche poco quanto ti pare) da $0$ hai una funzione con un comportamento normalissimo, infatti è uniformemente continua, anche lipschitziana (addirittura analitica).

gugo82
"otta96":
la funzione $\sin(1/x)$ [...] vicino a $0$ si mette ad oscillare [strike]come una forsennata[/strike] selvaggiamente

Così rende meglio l'idea... :lol:

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