Teorema di Abel
ciao a tutti,
vado al sodo: trattando a lezione del teorema di Abel, ho carpito che, data una serie di potenze, se questa c. semplicemente in un pto $x_0$ appartenente al cerchio di convergenza, allora la serie converge uniformemente nell'intervallo $ [0,x_0]$, posto $x_0$ in questo caso positivo.
Qualora $x_0$ fosse posto sul bordo del cerchio di convergenza, occorrerà intervenire con limiti, eventualmente dalla destra o dalla sinistra.
su internet ho trovato le seguenti considerazioni a riguardo del teorema:
Il teorema di Abel per le serie di potenze assicura che, se una serie di potenze è convergente in un punto della frontiera del suo insieme di convergenza, allora la serie è anche continua in quel punto. Una seconda formulazione del teorema garantisce la convergenza uniforme su ogni intervallo compatto contenuto in (-r, r], avendo per ipotesi la convergenza puntuale della serie nel punto r.
inoltre, detta f(z) la somma della serie per $ \|z \| < r $, f risulta $ C^∞ $ in tale cerchio di convergenza.
queste conclusioni mi hanno incuriosito, non riesco a capire come dedurle.. qualcunò può aiutarmi? graziee
vado al sodo: trattando a lezione del teorema di Abel, ho carpito che, data una serie di potenze, se questa c. semplicemente in un pto $x_0$ appartenente al cerchio di convergenza, allora la serie converge uniformemente nell'intervallo $ [0,x_0]$, posto $x_0$ in questo caso positivo.
Qualora $x_0$ fosse posto sul bordo del cerchio di convergenza, occorrerà intervenire con limiti, eventualmente dalla destra o dalla sinistra.
su internet ho trovato le seguenti considerazioni a riguardo del teorema:
Il teorema di Abel per le serie di potenze assicura che, se una serie di potenze è convergente in un punto della frontiera del suo insieme di convergenza, allora la serie è anche continua in quel punto. Una seconda formulazione del teorema garantisce la convergenza uniforme su ogni intervallo compatto contenuto in (-r, r], avendo per ipotesi la convergenza puntuale della serie nel punto r.
inoltre, detta f(z) la somma della serie per $ \|z \| < r $, f risulta $ C^∞ $ in tale cerchio di convergenza.
queste conclusioni mi hanno incuriosito, non riesco a capire come dedurle.. qualcunò può aiutarmi? graziee
Risposte
provo ad azzardare ciò che penso:
essendo una serie di Taylor una serie di potenze con $ an = (f^(n) (x0) )/ (n!) $ , e poichè la funzione somma di una serie di potenze è sempre sviluppabile in serie di Taylor, allora devono esistere le derivate n-esime nel dato punto considerato all'interno del cerchio di convergenza, di qui f risulta $ C^∞ $.
Per quanto riguarda l'ipotesi di continuità di una funzione somma, questa se non sbaglio è sempre legata alla convergenza uniforme della serie.. quindi, poichè il teorema di Abel, se verificato, assicura la convergenza uniforme nel segmento di estremi $ (0, R] $, dove $ R $ è il raggio di convergenza della serie, di qui si ricava che la f è continua sul punto di frontiera studiato del cerchio di convergenza.. sbaglio?
su questo non riesco ancora a esprimere alcuna considerazione..
essendo una serie di Taylor una serie di potenze con $ an = (f^(n) (x0) )/ (n!) $ , e poichè la funzione somma di una serie di potenze è sempre sviluppabile in serie di Taylor, allora devono esistere le derivate n-esime nel dato punto considerato all'interno del cerchio di convergenza, di qui f risulta $ C^∞ $.
Per quanto riguarda l'ipotesi di continuità di una funzione somma, questa se non sbaglio è sempre legata alla convergenza uniforme della serie.. quindi, poichè il teorema di Abel, se verificato, assicura la convergenza uniforme nel segmento di estremi $ (0, R] $, dove $ R $ è il raggio di convergenza della serie, di qui si ricava che la f è continua sul punto di frontiera studiato del cerchio di convergenza.. sbaglio?
Una seconda formulazione del teorema garantisce la convergenza uniforme su ogni intervallo compatto contenuto in (-r, r], avendo per ipotesi la convergenza puntuale della serie nel punto r.
su questo non riesco ancora a esprimere alcuna considerazione..
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