Teorema della permanenza del segno. Dubbi

[visind]

Salve ragazzi, vi scrivo la dimostrazione che ho trovato sui miei appunti. Potreste confermarmi la sua esattezza?

$a-epsilonN$ (quindi esiste un $N$ tale che $an>0$ per ogni $n>N$)

$epsilon
$an>a/2>0$ (Forse perchè essendo per definizione di limite , $a-epsilona/2>0$)

La dimostrazione del teorema si conclude qui.

Quindi, abbiamo dimostrato $an>0$ per ogni $n>N$ ? Non dobbiamo dimostrare per "quale" $N$ si ha che $an>0$?

[Principe2]

non è che ci si capisce molto in questa dimostrazione!
Se il limite $a$ è maggiore di $0$, sia $\varepsilon$ tale che $a-\varepsilon>0$. Poichè esiste $N$ tale che $0
Ovviamente non bisogna calcolare $N$. Questo al massimo potrebbe essere l'oggetto di un particolare esercizio, che ovviamente si riduce ad un sistema di disequazioni.

[visind]

Quindi possiamo dire in questo modo?

"Se si ha un limite strettamente positivo, l'oggetto che vi converge sarà positivo da un certo punto in poi, ovvero da $n>N$"
Noi dimostreremo tale cosa.

$\lim_{n \to \infty}a_n = a>0$, quindi $an>0$ da un certo punto in poi

Per definizione di limite abbiamo

$0
Sia quindi epsilon tale che $a-epsilon>0$

Per definizione di limite $epsilon = a/2$ di conseguenza si ha che $a-epsilon>0$

Poichè $0r$ allora $a-epsilon>0$ per $n>r$

Va bene così?