Teorema del Dini (dim. con il teorema delle contrazioni)

[asabasa]

Mi scuso in anticipo per la lunghezza del post, ma non potevo omettere il testo del teorema nè tanto meno la dimostrazione (anche se incompleta).

Teorema del Dini (dim. con il teorema delle contrazioni)
Sia $finC^1(A)$ con A aperto di $R^2$.
Se $(barx,bary)$ è un punto in cui sussiste : $f(x,y)=0$ e inoltre $f_y(barx,bary)!=0$

Allora $EE delta, k >0$ tali che se $|x-barx|
$f(x,g(x))=0$ ossia $f(x,y)=0 iff y=g(x)$

La funzione g si dice implicitamente definita da $f(x,y)=0$ e risulta di classe $C^1$
e la sua derivata è:

$g'(x)=-{f_x(x,g(x))}/{f_y(x,g(x))}$

La dimostrazione è la seguente:
I parte

II parte


Nella seconda parte della dimostrazione quando vuole dimostrare che $T(y)$ è un'applicazione da $T->T$ e inoltre che è una contrazione viene applicato il teorema di Lagrange, senza però esplicitare tutti i passaggi quindi chiedo il vostro aiuto per verificare se i miei ragionamenti sono giusti.

1) $T(y)$ è un'applicazione da $T->T$, dimostrazione:
Applico Lagrange a questa differenza: $|F(y,y(x))-F(x,bary)|$ e quindi $EEy_0 in [bary,y(x)]$ tale che
$F_y(x,y_0)|y(x)-bary|<=1/2 |y(x)-bary|$ perchè per la 5.11 $|F_y(x,y)|<1/2$
Ma poichè $|y(x)-bary|< k$ ho che $|F(y,y(x))-F(x,bary)| Considerando anche $|F(x,bary)|
Quindi: $|T(y)(x)-bary|=|F(y,y(x))-F(x,bary)|+|F(x,bary)|<=k/2 +k/2 =k$

2)Faccio un ragionamento simile per dimostrare che è una contrazione, dove applico Lagrange e questa volta il punto $y_0'$ è compreso tra $y_1$ e $y_2$

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Up!

[asabasa]

Condivido con voi la risposta del mio professore, chissà se a qualcuno può essere utile.
La risposta è... si il ragionamento è giusto!