Teorema del differenziale totale
leggendo sul mio libro ce scritto che se
$f in c^1=>$ f è differenziabile
perche non vale implicazione inversa potete darmi un esempio per cui non vale cioè presa una funzione applicata la definizione di differenziale e trovate il gradiente della funzione e poi verificare che in effetti la funzione ha derivata non continua
$f in c^1=>$ f è differenziabile
perche non vale implicazione inversa potete darmi un esempio per cui non vale cioè presa una funzione applicata la definizione di differenziale e trovate il gradiente della funzione e poi verificare che in effetti la funzione ha derivata non continua
Risposte
Un simpatico esempio si trova su Gelbaum-Olmsted, "Counterexample in Analysis" è il seguente:
\[f(x,y) = \begin{cases} x^2 \sin{\frac{1}{x}} + y^2 \sin{\frac{1}{y}} & x \not = 0, y \not = 0 \\ x^2 \sin{\frac{1}{x}} & x \not = 0, y = 0 \\ y^2 \sin{\frac{1}{y}} & x = 0, y \not = 0 \\ 0 & x=0, y=0 \end{cases}\]
Se noti la struttura è ben studiata affinché si presenti una tale patologia. La funzione è differenziabile in tutto $RR^2$. Le derivate parziali in $(0,0)$ presentano una discontinuità e quindi nell'origine la funzione non è $C^1$.
\[f(x,y) = \begin{cases} x^2 \sin{\frac{1}{x}} + y^2 \sin{\frac{1}{y}} & x \not = 0, y \not = 0 \\ x^2 \sin{\frac{1}{x}} & x \not = 0, y = 0 \\ y^2 \sin{\frac{1}{y}} & x = 0, y \not = 0 \\ 0 & x=0, y=0 \end{cases}\]
Se noti la struttura è ben studiata affinché si presenti una tale patologia. La funzione è differenziabile in tutto $RR^2$. Le derivate parziali in $(0,0)$ presentano una discontinuità e quindi nell'origine la funzione non è $C^1$.
invece se per caso una funzione ammette derivata ma nel origine ma una delle derivate parz. non esiste posso affermare che non è differenziabile nell origine ???
Se ho capito quello che chiedi, sì, l'esistenza della derivate parziali è una condizione necessaria. Più precisamente l'esistenza della derivata direzionale \(D_{\mathbf{v}}f\) per ogni possibile direzione \(\mathbf{v}\) è una condizione necessaria (ma non sufficiente) per la differenziabilità.
ti chiedo questo perche ho un esercizio della prof che mi chiede di verificare la differenziabilità della funzione in un punto
$f(x,y):{(y^2cos(1/y) if y!=0),(0 if (x,0)):}$
quindi visto che la derivata parziale rispetto a y esiste ma nel origine non esiste allora la funzione non è differenziabile in tale punto e quindi di conseguenza non esiste il piano tangente
poi un altra cosa a livello concettuale dimmi se il ragionamento è giusto mentre studiavo questa funzione ho studiato il limite del rapporto incrementale su y della funzione nel punto zero e in effetti mi esce zero cioè
$lim_(h->0) ((0+h)^2cos(1/(0+h))-0)/h=lim_(h->0)h^2cos(1/h)/h=lim_(h->0)hcos(1/h)<=lim_(h->0) h=0$
ma cio non basta per dire che la derivata in quel punto esiste (come facevamo nel caso unidimensionale ) ma per verificare l esistenza nel punto della derivata perche in R^2 presa un QUALUNQUE direzione io devo avvicinarmi all origine e se il valore è uguale per ogni direzione da cui tendo a zero allora posso dire che la derivata esiste in quel punto e per fare cio che ho detto devo fare
$\lim_((x,y)->(x,0)) 2ycos(1/y)+sin(1/y)$(verifico continuità della derivata ) e in effetti questo limite non esiste mentre il limite del rapporto incrementale viene fatto su una specifica direzione e in quella specifica direzione il limite esce zero ma non basta per dire che la derivata esiste giusto ???
$f(x,y):{(y^2cos(1/y) if y!=0),(0 if (x,0)):}$
quindi visto che la derivata parziale rispetto a y esiste ma nel origine non esiste allora la funzione non è differenziabile in tale punto e quindi di conseguenza non esiste il piano tangente
poi un altra cosa a livello concettuale dimmi se il ragionamento è giusto mentre studiavo questa funzione ho studiato il limite del rapporto incrementale su y della funzione nel punto zero e in effetti mi esce zero cioè
$lim_(h->0) ((0+h)^2cos(1/(0+h))-0)/h=lim_(h->0)h^2cos(1/h)/h=lim_(h->0)hcos(1/h)<=lim_(h->0) h=0$
ma cio non basta per dire che la derivata in quel punto esiste (come facevamo nel caso unidimensionale ) ma per verificare l esistenza nel punto della derivata perche in R^2 presa un QUALUNQUE direzione io devo avvicinarmi all origine e se il valore è uguale per ogni direzione da cui tendo a zero allora posso dire che la derivata esiste in quel punto e per fare cio che ho detto devo fare
$\lim_((x,y)->(x,0)) 2ycos(1/y)+sin(1/y)$(verifico continuità della derivata ) e in effetti questo limite non esiste mentre il limite del rapporto incrementale viene fatto su una specifica direzione e in quella specifica direzione il limite esce zero ma non basta per dire che la derivata esiste giusto ???
I calcoli che hai postato mi sembrano sostanzialmente corretti ma fatico a seguirti con i ragionamenti. Un po' di punteggiatura e qualche virgola non guasterebbero...
Stai confondendo i concetti di esistenza e di continuità.
La definizione di derivata direzionale di una funzione in più variabili è un limite di una funzione in una sola variabile[nota]Infatti posto \(\varphi(t) := f(\mathbf{x} + t\mathbf{v})\) si ha \(D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x}) = \varphi'(t)\) che coinvolge un limite mono-dimensionale.[/nota]. Quindi per l'esistenza delle derivate direzionali non bisogna fare alcun limite in più variabili. Difatti, nel tuo esempio entrambe le derivate parziali esistono in tutto $RR^2$.
Diversa questione è la continuità delle derivate direzionali, che sono a tutti gli effetti funzioni $RR^2 \to RR$. In questo caso infatti è necessario il calcolo di un limite in due variabili, che, come hai detto, va a considerare tutte i "modi" possibile di avvicinarsi al punto. Nel tuo esempio, come hai ben detto, la derivata parziale rispetto a $y$ non è continua nell'origine. La derivata parziale rispetto a $x$ invece è continua in tutto $RR^2$.
Detto ciò:
Sbagliato! Esiste in tutto $RR^2$
Sbagliato! Stai confondendo l'esistenza con la continuità!
Sbagliato! Idem con patate: stai confondendo l'esistenza con la continuità!
Ricorda comunque, per quanto detto nei primi messaggi, che la condizione \(f \in C^1\) è sufficiente, ma non necessaria. Invece \(\exists \ \nabla f\) è una condizione solo necessaria. Il che vuol dire che, se arrivi a verificare l'esistenza delle derivate parziali ma non la loro continuità non puoi concludere niente sula differenziabilità della funzione.
L'unica via è quella di fare il calcolo con il rapporto incrementale totale. Infatti solitamente per verificare la differenziabilità si parte subito con il rapporto incrementale totale, la cui esistenza è condizione necessaria e sufficiente (ovviamente è la definizione!) per la differenziabilità.
Stai confondendo i concetti di esistenza e di continuità.
La definizione di derivata direzionale di una funzione in più variabili è un limite di una funzione in una sola variabile[nota]Infatti posto \(\varphi(t) := f(\mathbf{x} + t\mathbf{v})\) si ha \(D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x}) = \varphi'(t)\) che coinvolge un limite mono-dimensionale.[/nota]. Quindi per l'esistenza delle derivate direzionali non bisogna fare alcun limite in più variabili. Difatti, nel tuo esempio entrambe le derivate parziali esistono in tutto $RR^2$.
Diversa questione è la continuità delle derivate direzionali, che sono a tutti gli effetti funzioni $RR^2 \to RR$. In questo caso infatti è necessario il calcolo di un limite in due variabili, che, come hai detto, va a considerare tutte i "modi" possibile di avvicinarsi al punto. Nel tuo esempio, come hai ben detto, la derivata parziale rispetto a $y$ non è continua nell'origine. La derivata parziale rispetto a $x$ invece è continua in tutto $RR^2$.
Detto ciò:
"alessandrof10":
...quindi visto che la derivata parziale rispetto a y esiste ma nel origine non esiste...
Sbagliato! Esiste in tutto $RR^2$
"alessandrof10":
...ma cio non basta per dire che la derivata in quel punto esiste (come facevamo nel caso unidimensionale )...
Sbagliato! Stai confondendo l'esistenza con la continuità!
"alessandrof10":
... in effetti questo limite non esiste mentre il limite del rapporto incrementale viene fatto su una specifica direzione e in quella specifica direzione il limite esce zero ma non basta per dire che la derivata esiste giusto ???
Sbagliato! Idem con patate: stai confondendo l'esistenza con la continuità!
Ricorda comunque, per quanto detto nei primi messaggi, che la condizione \(f \in C^1\) è sufficiente, ma non necessaria. Invece \(\exists \ \nabla f\) è una condizione solo necessaria. Il che vuol dire che, se arrivi a verificare l'esistenza delle derivate parziali ma non la loro continuità non puoi concludere niente sula differenziabilità della funzione.
L'unica via è quella di fare il calcolo con il rapporto incrementale totale. Infatti solitamente per verificare la differenziabilità si parte subito con il rapporto incrementale totale, la cui esistenza è condizione necessaria e sufficiente (ovviamente è la definizione!) per la differenziabilità.
mi scuso per non essermi espresso in modo adeguato anche perche so la differenza tra continuità della derivata e derivabilità della funzione . Quindi il limite del rapporto incrementale che ti ho postato prima mi dice che in effetti la derivata esiste ma non dice nulla su la continuità di quella derivata. Per verificare la continuità della derivata in tale punto devo fare il limite che ho postato sopra(applico la definizione di continuità alla derivata) ,che nel mio caso non esiste di conseguenza posso affermare che il differenziale della mia funzione in tale punto non esiste.
questa differenza tra il caso unidimensionale e pluridimensionale nasce dal fatto che nel caso unidimensionale tu hai solo un unica direzione da cui tendere il limite quindi la derivabilità implica la sua continuità. Nel caso pluridimensionale abbiamo a che fare con piu direzioni a cui la funzione puo tendere in un punto per questo il lim del rap incr mi dice che la derivata esiste o non esiste ma per verificare la continuità dovrei provare per ogni direzione che la derivata in effetti e continua e per fare cio applico la definizione di continuità alla derivata giusto ??
questa differenza tra il caso unidimensionale e pluridimensionale nasce dal fatto che nel caso unidimensionale tu hai solo un unica direzione da cui tendere il limite quindi la derivabilità implica la sua continuità. Nel caso pluridimensionale abbiamo a che fare con piu direzioni a cui la funzione puo tendere in un punto per questo il lim del rap incr mi dice che la derivata esiste o non esiste ma per verificare la continuità dovrei provare per ogni direzione che la derivata in effetti e continua e per fare cio applico la definizione di continuità alla derivata giusto ??
"alessandrof10":
mi scuso per non essermi espresso in modo adeguato anche perche so la differenza tra continuità della derivata e derivabilità della funzione . Quindi il limite del rapporto incrementale che ti ho postato prima mi dice che in effetti la derivata esiste ma non dice nulla su la continuità di quella derivata. Per verificare la continuità della derivata in tale punto devo fare il limite che ho postato sopra(applico la definizione di continuità alla derivata) ,che nel mio caso non esiste di conseguenza posso affermare che il differenziale della mia funzione in tale punto non esiste.
Tutto corretto, a parte la frase in rosso. La condizione non è necessaria! Mi auto cito:
"Emar":
Ricorda comunque, per quanto detto nei primi messaggi, che la condizione \( f \in C^1 \) è sufficiente, ma non necessaria. Invece \( \exists \ \nabla f \) è una condizione solo necessaria. Il che vuol dire che, se arrivi a verificare l'esistenza delle derivate parziali ma non la loro continuità non puoi concludere niente sula differenziabilità della funzione.
L'unica via è quella di fare il calcolo con il rapporto incrementale totale. Infatti solitamente per verificare la differenziabilità si parte subito con il rapporto incrementale totale, la cui esistenza è condizione necessaria e sufficiente (ovviamente è la definizione!) per la differenziabilità.
"alessandrof10":
questa differenza tra il caso unidimensionale e pluridimensionale nasce dal fatto che nel caso unidimensionale tu hai solo un unica direzione da cui tendere il limite quindi la derivabilità implica la sua continuità...
Questo è sbagliato. Stai confondendo i due concetti: derivabilità della funzione, continuità della derivata. Anche nel caso di una sola variabile, il fatto che \(\exists \ f' \not \Rightarrow f \in C^1\)! Prendi ad esempio:\[f(x) = \begin{cases} x^2 \sin{\frac{1}{x}} & x \not = 0 \\ 0 & x = 0\end{cases} \]
La funzione è continua e derivabile in tutto $RR$, ma la derivata ha una discontinuità in $0$. Qui, come puoi ben vedere, non c'entra nulla il limite in due variabili!
EDIT: Stai facendo lo steso errore di questo tuo precedente post: viewtopic.php?f=36&t=138613&start=10
quindi comunque sia devo verificare la differenziabilità ti posto come ho fatto io
$lim_((h,k)->(0,0))|k^2cos(1/k)-0|/sqrt(h^2+k^2)=lim_((h,k)->(0,0)) (|k^2||cos(1/k)|)/sqrt(h^2+k^2)<=lim_((h,k)->(0,0))|cos(1/k)|<=1 $
perche $0<=|cos(1/k)|<=1$ quindi tale limite non esiste e perciò non è differenziabile
su la seconda scritta in rosso è vero mi sto confondendo infatti a una dimensione anche se calcolavo la derivata dovevo comunque provare con la definizione di continuità se essa nel punto era continua(facendo i limiti destri e sinistri ) percio stessa cosa in due dimensioni ma il limite è in x e y
$lim_((h,k)->(0,0))|k^2cos(1/k)-0|/sqrt(h^2+k^2)=lim_((h,k)->(0,0)) (|k^2||cos(1/k)|)/sqrt(h^2+k^2)<=lim_((h,k)->(0,0))|cos(1/k)|<=1 $
perche $0<=|cos(1/k)|<=1$ quindi tale limite non esiste e perciò non è differenziabile
su la seconda scritta in rosso è vero mi sto confondendo infatti a una dimensione anche se calcolavo la derivata dovevo comunque provare con la definizione di continuità se essa nel punto era continua(facendo i limiti destri e sinistri ) percio stessa cosa in due dimensioni ma il limite è in x e y
Ok, ci sei 
GRAZIE MILLE DAVVERO SONO DUE GIORNI CHE STO CERCANDO DI CAPIRE QUESTE COSE E ALLA FINE STAVO FACENDO UNA GRAN CONFUSIONE...DI NUOVO GRAZIE PER LA PAZIENZA
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo