Teorema del differenziale-applicazioni
Ho questo esercizio:
$f(x,y)=sqrt|xy|$ dire se è differenziabile nell'origine
faccio le derivate $f_x=y/(2sqrt|xy|)$ $f_y=x/(2sqrt|xy|)$ sostituisco 0 nelle derivate al posto di x e y(perchè è così che si fa, vero?)
e le derivate parziali sono entrambe uguali a 0.
Poi per vedere se è differenziabile faccio $lim_(h,k)->(0,0) f(h,k)/sqrt(h^2+k^2)=lim_(h,k)->(0,0) sqrt|hk|/sqrt(h^2+k^2)$, poi non riesco a continuare, comunque la prof dice che non è regolare e quindi non è differenziabile, mi sapreste dire come dimostrare che quel limite non esiste?
$f(x,y)=sqrt|xy|$ dire se è differenziabile nell'origine
faccio le derivate $f_x=y/(2sqrt|xy|)$ $f_y=x/(2sqrt|xy|)$ sostituisco 0 nelle derivate al posto di x e y(perchè è così che si fa, vero?)
e le derivate parziali sono entrambe uguali a 0.
Poi per vedere se è differenziabile faccio $lim_(h,k)->(0,0) f(h,k)/sqrt(h^2+k^2)=lim_(h,k)->(0,0) sqrt|hk|/sqrt(h^2+k^2)$, poi non riesco a continuare, comunque la prof dice che non è regolare e quindi non è differenziabile, mi sapreste dire come dimostrare che quel limite non esiste?
Risposte
Questo è un altro esercizio:
$f(x,y)=x^2y+senxy$ lei ha detto subito che è differenziabile sempre, non ha fatto nemmeno il $lim(h,k)->(0,0) f(h,k)/sqrt(h^2+k^2)$, cioè come si fa a capire subito che è differenziabile?
$f(x,y)=x^2y+senxy$ lei ha detto subito che è differenziabile sempre, non ha fatto nemmeno il $lim(h,k)->(0,0) f(h,k)/sqrt(h^2+k^2)$, cioè come si fa a capire subito che è differenziabile?
"75america":
Ho questo esercizio:
$f(x,y)=sqrt|xy|$ dire se è differenziabile nell'origine
faccio le derivate $f_x=y/(2sqrt|xy|)$ $f_y=x/(2sqrt|xy|)$ sostituisco 0 nelle derivate al posto di $x$ e $y$ e le derivate parziali sono entrambe uguali a 0. (perchè è così che si fa, vero?)
Ma nemmeno per idea.
Quelle derivate perziali sono definite in $\RR^2$ ad eccezione dei punti delle rette d'equazione $x=0,y=0$: quindi te lo scordi che è lecito sostituire $x=0,y=0$ in $f_x,f_y$.
Le due derivate vanno calcolate col rapporto incrementale, oppure provando a prolungare $f_x,f_y$ sull'origine: in ogni caso, vanno risolti dei limiti.
"75america":
Poi per vedere se è differenziabile faccio $lim_(h,k)->(0,0) f(h,k)/sqrt(h^2+k^2)=lim_(h,k)->(0,0) sqrt|hk|/sqrt(h^2+k^2)$, poi non riesco a continuare, comunque la prof dice che non è regolare e quindi non è differenziabile, mi sapreste dire come dimostrare che quel limite non esiste?
Prova a mostrare che non è verificata qualche condizione necessaria all'esistenza del limite...
$lim_(h->0)(f(h,0)-f(0,0))/h=>(0-0)/h=0$
$lim_(k->0)(f(0,k)-f(0,0))/k=>(0-0)/k=0$
ma so sicuro come la morte che sono sbagliati...
poi per dimostrare che quel limite non esiste ho cercato di fare entrambe le condizioni necessarie:
$lim_(h,k->0,0) sqrt|hk|/sqrt(h^2+k^2)$
Restrizioni rispetto agli assi coordinati:
$f(h,0)=0$
$f(0,k)=0$, ma ovvio che sono sbagliati se non esiste il limite come fanno a venire entrambi uguali?
imposto passaggio retta passante per l'origine, di equazione $k=mh$
$f(h,mh)sqrt(h*mh)/(h^2+m^2k^2)=(h^2sqrtm)/(h^2sqrt(1+m^2))$, quindi se faccio il limite per h->0, questo dipende da m e quindi il limite non esiste, secondo me, però perchè all'altra condizsione mi vengono entrambi uguali a zero, comunque gugo, io oltre quello che ho scritto:
$(h^2sqrtm)/(h^2sqrt(1+m^2))$, io avanti non saprei andare, non riesco a trovare limiti notevoli simili, come devo fare per imparare a fare questi benedetti limiti?
$lim_(k->0)(f(0,k)-f(0,0))/k=>(0-0)/k=0$
ma so sicuro come la morte che sono sbagliati...
poi per dimostrare che quel limite non esiste ho cercato di fare entrambe le condizioni necessarie:
$lim_(h,k->0,0) sqrt|hk|/sqrt(h^2+k^2)$
Restrizioni rispetto agli assi coordinati:
$f(h,0)=0$
$f(0,k)=0$, ma ovvio che sono sbagliati se non esiste il limite come fanno a venire entrambi uguali?
imposto passaggio retta passante per l'origine, di equazione $k=mh$
$f(h,mh)sqrt(h*mh)/(h^2+m^2k^2)=(h^2sqrtm)/(h^2sqrt(1+m^2))$, quindi se faccio il limite per h->0, questo dipende da m e quindi il limite non esiste, secondo me, però perchè all'altra condizsione mi vengono entrambi uguali a zero, comunque gugo, io oltre quello che ho scritto:
$(h^2sqrtm)/(h^2sqrt(1+m^2))$, io avanti non saprei andare, non riesco a trovare limiti notevoli simili, come devo fare per imparare a fare questi benedetti limiti?
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