Teorema dei residui e integrali
Salve,
ho la dimostrazione del calcolo di
$int^+oo_-oo dx/(x^4+1)$.
Non capisco in base a cosa si dice che tale integrale è uguale al $lim_R->+oo int^+R_-R dx/(x^4+1)$ e sopratutto perchè poi l'integrale utilizzando il teorema dei residui venga calcolato usando la curva che nasce dall'unione di una semicirconferenza per y>0 del corrispondente segmento sull'asse x
Aiutz!
ho la dimostrazione del calcolo di
$int^+oo_-oo dx/(x^4+1)$.
Non capisco in base a cosa si dice che tale integrale è uguale al $lim_R->+oo int^+R_-R dx/(x^4+1)$ e sopratutto perchè poi l'integrale utilizzando il teorema dei residui venga calcolato usando la curva che nasce dall'unione di una semicirconferenza per y>0 del corrispondente segmento sull'asse x
Aiutz!
Risposte
Per la risoluzione di questo integrale si cerca di utilizzare dei teoremi di analisi complessa...
Diciamo che considerando la funzione nel dominio complesso cioè:
$f(z)=1/(z^4+1)$ e valendo le condizioni che consentono di applicare un Lemma in particolare (Lmma del grande cercio), si può integrare su una curva chiusa (predefinita), data da:
$gamma_1 (t) = Re^(j t)$con $t in (0, pi)$ e
$gamma_2 (t)= t$ con $t in [-R,R]$
Inoltre applicando il teorema dei residui si ottiene:
$int_(gamma_1 (t)+ gamma_2 (t)) 1/(z^4+1) dz =2 pi i sum $(residui contenuti nella curva).
In tal modo l'ntegrale puo essere scomposto in:
$int_(-R)^R 1/(t^4+1) dt + int_(gamma_1(t)) 1/(z^4+1) dz $, facendo tendere R all'infinito cioè:
$lim_(R ->+oo) (int_(-R)^R 1/(t^4+1) dt + int_(gamma_1(t)) 1/(z^4+1) dz)$ e applicando il lemma precedentemente citato il secondo integrale tende a 0. Quindi:
$lim_(R ->+oo) int_(-R)^R 1/(t^4+1) dt =2 pi i sum $(residui contenuti nella curva) è proprio l'integrale che volevamo calcolare.
Diciamo che considerando la funzione nel dominio complesso cioè:
$f(z)=1/(z^4+1)$ e valendo le condizioni che consentono di applicare un Lemma in particolare (Lmma del grande cercio), si può integrare su una curva chiusa (predefinita), data da:
$gamma_1 (t) = Re^(j t)$con $t in (0, pi)$ e
$gamma_2 (t)= t$ con $t in [-R,R]$
Inoltre applicando il teorema dei residui si ottiene:
$int_(gamma_1 (t)+ gamma_2 (t)) 1/(z^4+1) dz =2 pi i sum $(residui contenuti nella curva).
In tal modo l'ntegrale puo essere scomposto in:
$int_(-R)^R 1/(t^4+1) dt + int_(gamma_1(t)) 1/(z^4+1) dz $, facendo tendere R all'infinito cioè:
$lim_(R ->+oo) (int_(-R)^R 1/(t^4+1) dt + int_(gamma_1(t)) 1/(z^4+1) dz)$ e applicando il lemma precedentemente citato il secondo integrale tende a 0. Quindi:
$lim_(R ->+oo) int_(-R)^R 1/(t^4+1) dt =2 pi i sum $(residui contenuti nella curva) è proprio l'integrale che volevamo calcolare.
... credo che allora a me manchi da "collante" questo lemma dei grandi cerchi, che è l'unica cosa di cui non avevo sentito parlare.
Grazie!
Grazie!
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