Teorema dei Residui
Salve a tutti.
Comincio dicendovi che sto studiando questa materia da un paio di giorni e purtroppo non mi è ancora arrivato il libro di teoria ; infatti vi scrivo perchè non sono sicuro di alcuni passaggio che ho fatto durante un esercizio. Il testo è il seguente:
Calcolare il seguente integrale applicando il teorema dei residui:
$ oint_(Gamma)z^2/(z-1)e^(1/(z-1))dz $
dove gamma è la circonferenza di centro l'origine e raggio 2.
Ho cominciato innanzitutto trovandomi le singolarità, che in questo caso è soltanto $ z=1 $ . La singolarità è isolata e cade dentro il cerchio, dunque posso applicare il teorema.
Mi sviluppo la funzione in serie di LAURENT la quale mi viene:
$ (t+1)^2/tsum 1/(t^k(k!)) $ , $ AA |t|>1 $ ove $ t=z-1 $ .
Fatto questo iniziano i miei problemi perchè, scrivendomi i primi termini della serie ottengo:
$ (t+1)^2/t[ 1+1/t+1/(2t^2) +...]=(t+2+1/t)[ 1+1/t+1/(2t^2)+... ] $
facendo il prodotto di quei termini ottengo questa qunatità:
$ t+3+7/(2t) $
Ho fatto bene a fermarmi a questo grado del polinomio? cioè mi basta questa approssimazione per dire che il residuo vale 7/2?
Siate buoni con me, perchè ripeto ancora non ho avuto tempo di fare abbastanza teoria.
Grazie
Comincio dicendovi che sto studiando questa materia da un paio di giorni e purtroppo non mi è ancora arrivato il libro di teoria ; infatti vi scrivo perchè non sono sicuro di alcuni passaggio che ho fatto durante un esercizio. Il testo è il seguente:
Calcolare il seguente integrale applicando il teorema dei residui:
$ oint_(Gamma)z^2/(z-1)e^(1/(z-1))dz $
dove gamma è la circonferenza di centro l'origine e raggio 2.
Ho cominciato innanzitutto trovandomi le singolarità, che in questo caso è soltanto $ z=1 $ . La singolarità è isolata e cade dentro il cerchio, dunque posso applicare il teorema.
Mi sviluppo la funzione in serie di LAURENT la quale mi viene:
$ (t+1)^2/tsum 1/(t^k(k!)) $ , $ AA |t|>1 $ ove $ t=z-1 $ .
Fatto questo iniziano i miei problemi perchè, scrivendomi i primi termini della serie ottengo:
$ (t+1)^2/t[ 1+1/t+1/(2t^2) +...]=(t+2+1/t)[ 1+1/t+1/(2t^2)+... ] $
facendo il prodotto di quei termini ottengo questa qunatità:
$ t+3+7/(2t) $
Ho fatto bene a fermarmi a questo grado del polinomio? cioè mi basta questa approssimazione per dire che il residuo vale 7/2?
Siate buoni con me, perchè ripeto ancora non ho avuto tempo di fare abbastanza teoria.
Grazie
Risposte
up
Con un paio di passaggi puoi scrivere esplicitamente tutta la serie di Laurent centrata in \(1\).
Hai:
\[
\begin{split}
\frac{z^2}{z-1}\ \exp \left( \frac{1}{z-1}\right) &= \frac{(z-1)^2+2(z-1)+1}{z-1}\ \exp \left( \frac{1}{z-1}\right)\\
&= \left( (z-1) +2 +\frac{1}{z-1}\right)\ \exp \left( \frac{1}{z-1}\right)\\
&= \left( (z-1) +2 +\frac{1}{z-1}\right)\ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ \frac{1}{(z-1)^n}\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ \frac{1}{(z-1)^{n-1}} +2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ \frac{1}{(z-1)^n} + \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ \frac{1}{(z-1)^{n+1}}\\
&= (z-1) + 3 +\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{(n+1)!} + \frac{2}{n!} +\frac{1}{(n-1)!}\right)\ \frac{1}{(z-1)^n}\\
&= z+2+\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2+3n+3}{(n+1)!}\ \frac{1}{(z-1)^n}
\end{split}
\]
ed il residuo lo calcoli facile.
Hai:
\[
\begin{split}
\frac{z^2}{z-1}\ \exp \left( \frac{1}{z-1}\right) &= \frac{(z-1)^2+2(z-1)+1}{z-1}\ \exp \left( \frac{1}{z-1}\right)\\
&= \left( (z-1) +2 +\frac{1}{z-1}\right)\ \exp \left( \frac{1}{z-1}\right)\\
&= \left( (z-1) +2 +\frac{1}{z-1}\right)\ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ \frac{1}{(z-1)^n}\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ \frac{1}{(z-1)^{n-1}} +2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ \frac{1}{(z-1)^n} + \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ \frac{1}{(z-1)^{n+1}}\\
&= (z-1) + 3 +\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{(n+1)!} + \frac{2}{n!} +\frac{1}{(n-1)!}\right)\ \frac{1}{(z-1)^n}\\
&= z+2+\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2+3n+3}{(n+1)!}\ \frac{1}{(z-1)^n}
\end{split}
\]
ed il residuo lo calcoli facile.
Più che altro il mio dubbio non era legato tanto allo sviluppo della serie ma piuttosto a capire quale fosse il coefficiente della parte principale della serie devo prendere.
Per definizione \(\operatorname{Res}(f;z_0) = \text{coefficiente di } 1/(z-z_0) \text{ nello sviluppo di Laurent di } f \text{ centrato in } z_0\).
Quindi nel mio sviluppo bisogna prendere il coefficiente che viene fuori dalla serie per \(n=1\), i.e. \(7/2\).
Quindi nel mio sviluppo bisogna prendere il coefficiente che viene fuori dalla serie per \(n=1\), i.e. \(7/2\).
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