Teorema dei residui
scusate se vi pongo queste domande ma il mio docente nn ci ha consigliato testi di riferimento e gli appunti sono disordinati e privi di esempi..
1)quando si calcola un integrale curvilineo di una funzione complessa e all'interno della curva nn ci sono punti singolari posso usare il teorema dei residui? e Re(f,z0) =0 ? ovvero l'integrale è nullo anche se nn valgono le cauchy-riemann?
2)quando si calcola il residuo per un punto singolare z0 si risolve il limite (o la derivata se la molteplicità >1) simbolicamente e poi si sostituisce il valore numerico z0 nel risultato? oppure si calcola il limite direttamente in z0=a+ib? in questo modo in molti casi si ha una forma indeterminata del tipo 0/0 e quindi si usa De L'hospital?
grazie!!
1)quando si calcola un integrale curvilineo di una funzione complessa e all'interno della curva nn ci sono punti singolari posso usare il teorema dei residui? e Re(f,z0) =0 ? ovvero l'integrale è nullo anche se nn valgono le cauchy-riemann?
2)quando si calcola il residuo per un punto singolare z0 si risolve il limite (o la derivata se la molteplicità >1) simbolicamente e poi si sostituisce il valore numerico z0 nel risultato? oppure si calcola il limite direttamente in z0=a+ib? in questo modo in molti casi si ha una forma indeterminata del tipo 0/0 e quindi si usa De L'hospital?
grazie!!
Risposte
Se la funzione non è analitica (i.e. non rispetta le CR) allora non si può calcolare l'integrale con i residui.
Ad esempio il caso $f(z)=barz$, che è dovunque anticonforme e dunque non analitica. La funzione non presenta
singolarità, ma $oint_C barz dz=2jA_C$, dove $A_C$ è l'area racchiusa dalla curva $C$.
Quanto al calcolo dei residui, il limite o la derivata si calcolano con qualsivoglia metodo.
Un limite non si può calcolare in modo "simbolico", è necessario introdurre subito il valore,
a differenza della derivata.
Ad esempio il caso $f(z)=barz$, che è dovunque anticonforme e dunque non analitica. La funzione non presenta
singolarità, ma $oint_C barz dz=2jA_C$, dove $A_C$ è l'area racchiusa dalla curva $C$.
Quanto al calcolo dei residui, il limite o la derivata si calcolano con qualsivoglia metodo.
Un limite non si può calcolare in modo "simbolico", è necessario introdurre subito il valore,
a differenza della derivata.
grazie mille.. ma adesso come faccio? allora se una funzione non è olomorfa (<=> non è analitica) posso scordarmi i residui.. io ho f(Z)=1/(z^2-4) che ha radici z1=2 e z2=-2. ho calcolato + volte e nn valgono le CR. ma come posso calcolare l'integrale curvilineo di f su due curve di raggio unitario una centrata in 0 e l'altra in 2?? è un casino come intrgrale. in ogni caso puoi dirmi come si calcola il residuo Re(f,2) dato che il limite con z->z1 di (z-z1)/(z^2-4) è indeterminato del tipo 0/0? grazie ancora!
Probabilmente hai sbagliato i conti, perchè tutte le funzioni razionali sono meromorfe (olomorfe eccetto nelle singolarità).
Comunque il limite è semplicissimo: $Res[1/(z^2-4),2]=lim_(z to 2) (z-2)/((z+2)(z-2))=1/4$. Nel caso della circonferenza
$gamma_1$ centrata in $z=0$, che non contiene singolarità, $oint_(gamma_1) 1/(z^2-4) dz =0$. Poichè invece la circonferenza
$gamma_2$, centrata in $z=2$, contiene la singolarità (che si ha proprio per $z=2$) di cui si è già calcolato il residuo, $oint_(gamma_2) 1/(z^2-4) dz =(pi j)/2$.
Comunque il limite è semplicissimo: $Res[1/(z^2-4),2]=lim_(z to 2) (z-2)/((z+2)(z-2))=1/4$. Nel caso della circonferenza
$gamma_1$ centrata in $z=0$, che non contiene singolarità, $oint_(gamma_1) 1/(z^2-4) dz =0$. Poichè invece la circonferenza
$gamma_2$, centrata in $z=2$, contiene la singolarità (che si ha proprio per $z=2$) di cui si è già calcolato il residuo, $oint_(gamma_2) 1/(z^2-4) dz =(pi j)/2$.
grazie mille.. quindi se calcolo + attentamente varranno le CR in C-{2,-2}.. vero?
Si.
In alternativa al limite suddetto, il residuo si può calcolare anche sviluppando la funzione
in serie di Laurent in prossimità delle singolarità. La funzione $f(z)=1/(z^2-4)$ si può
scomporre in frazioni parziali: $f(z)=1/(4(z-2))-1/(4(z+2))$. Lavoriamo nei pressi di $z=2$:
$f(z)=1/4 1/(z(1-2/z))-1/8 1/(z/2+1)= 1/(4z)(1+2/z+2^2/z^2+ldots)-1/8(1-z/2+z^2/2^2-ldots)=1/(4z) sum_(k=0)^(oo) (2/z)^k-1/8sum_(k=1)^(oo) (-1)^k (z/2)^k$.
Da qui, si vede subito che $Res[1/(z^2-4),2]=1/4$.
in serie di Laurent in prossimità delle singolarità. La funzione $f(z)=1/(z^2-4)$ si può
scomporre in frazioni parziali: $f(z)=1/(4(z-2))-1/(4(z+2))$. Lavoriamo nei pressi di $z=2$:
$f(z)=1/4 1/(z(1-2/z))-1/8 1/(z/2+1)= 1/(4z)(1+2/z+2^2/z^2+ldots)-1/8(1-z/2+z^2/2^2-ldots)=1/(4z) sum_(k=0)^(oo) (2/z)^k-1/8sum_(k=1)^(oo) (-1)^k (z/2)^k$.
Da qui, si vede subito che $Res[1/(z^2-4),2]=1/4$.
ok grazie tante;)
scusa vorrei chiederti ancora una cosa.. tu hai detto che le funzioni razionali sono sempre meromorfe, ovvero olomorfe in tutto l'insieme meno i poli. tuttavia nn valgono le CR per questa funzione: f(z)=(z+2)/(z-2) !! ho fatto fare il calcolo anche ad alcuni miei colleghi.. inoltre, devo calcolare l'integrale curvilineo di f esteso a una circonferenza centrata in 0 e di raggio unitario. posso usare il teorema dei residui?? se posso farlo, non essendoci punti singolari nella curva (il polo è 2) il risultato è 0?? ho fatto i calcoli.. gli integrali della forma differenziale reale e immaginaria sono funzioni razionali di seni e coseni. ho fatto il cambio di variabile da dt in dz estendendoli a funzioni razionali complesse e ho applicato il teorema dei residui.. in ogni caso è molto lungo e l'esercizio va risolto + velocemente.. puoi darmi qualche certezza? grazie
le CR varranno nei punti in cui è olomorfa...
infatti:
non so se lo sai, ma le CR equivalgono a dire che $\partial/{\partial x} f + i \partial/{\partial y} f = 0$ e questo è vero dove il denominatore non si annulla (ho fatto i conti)
se non lo sai, lo trovi qui a pagina 10
non so se lo sai, ma le CR equivalgono a dire che $\partial/{\partial x} f + i \partial/{\partial y} f = 0$ e questo è vero dove il denominatore non si annulla (ho fatto i conti)
se non lo sai, lo trovi qui a pagina 10
quindi vuoi dire che valgono le CR per la funzione (z+2)/(z-2) tranne che nel punto 2 e che io ho ancora una volta sbagliato i conti?
sì
ma non ti preoccupare, succede anche a me
una volta ci ho messo più di 2 ore per fare uno stupidissimo integrale con i residui, continuavo a sbagliare i conti
ma non ti preoccupare, succede anche a me
una volta ci ho messo più di 2 ore per fare uno stupidissimo integrale con i residui, continuavo a sbagliare i conti
e quindi vuoi dire che la risposta sull'integrale curvilineo è semplicemente 0?e per quanto riguarda la funzione z coniugato stando a quello che dice elgiovo l'integrale esteso alla stessa circonferenza unitaria nn può venirmi 0?
L'integrale $oint_(|z|=1) barz dz$ vale precisamente $2j(mbox(area della circonferenza))$.
Infatti, $oint_(|z|=1) barz dz=int_0^(2pi) (e^(-jt)) *je^(jt)dt=jint_(0)^(2pi) dt=2jpi$, come ci si aspettava.
Infatti, $oint_(|z|=1) barz dz=int_0^(2pi) (e^(-jt)) *je^(jt)dt=jint_(0)^(2pi) dt=2jpi$, come ci si aspettava.
"elgiovo":
In alternativa al limite suddetto, il residuo si può calcolare anche sviluppando la funzione
in serie di Laurent in prossimità delle singolarità. La funzione $f(z)=1/(z^2-4)$ si può
scomporre in frazioni parziali: $f(z)=1/(4(z-2))-1/(4(z+2))$. Lavoriamo nei pressi di $z=2$:
$f(z)=1/4 1/(z(1-2/z))-1/8 1/(z/2+1)= 1/(4z)(1+2/z+2^2/z^2+ldots)-1/8(1-z/2+z^2/2^2-ldots)=1/(4z) sum_(k=0)^(oo) (2/z)^k-1/8sum_(k=1)^(oo) (-1)^k (z/2)^k$.
Da qui, si vede subito che $Res[1/(z^2-4),2]=1/4$.
ma quella che hai sviluppato è una normale serie di taylor?
l'ultima sommatoria non dovrebbe partire da 0 anziche da 1?
infine, come hai ottenuto il residuo dalla serie?
La seconda sommatoria parte da $k=0$, giusto.
Per il resto, la serie non è ovviamente di Taylor, ma di LAURENT
(infatti compaiono anche infinite potenze negative di $z$, cosa che non accade in una serie di Taylor).
Il residuo di una funzione in un polo $a$ è il coefficiente di $1/z$ nello sviluppo di $f$ nel polo.
Per il resto, la serie non è ovviamente di Taylor, ma di LAURENT
(infatti compaiono anche infinite potenze negative di $z$, cosa che non accade in una serie di Taylor).
Il residuo di una funzione in un polo $a$ è il coefficiente di $1/z$ nello sviluppo di $f$ nel polo.
"elgiovo":
(infatti compaiono anche infinite potenze negative di $z$, cosa che non accade in una serie di Taylor).
.
ora mi tornano i conti, infatti è lo sviluppo con $ 2/z
e quindi potenze negative. grazie
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