Teorema degli zeri(Teorema di Bolzano)
Ciao gente, ho dei problemi nel capire la dimostrazione di questo teorema. Allora, l'enunciato dice che se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b] e f(a)*f(b) è minore di zero, ci sarà di certo un valore di ascissa in cui la funzione assumerà valore zero. L'enunciato è intuitivo: se il prodotto tra f(a) ed f(b) è <0, vuol dire che f(a) e f(b) hanno valori opposti e dunque,se la funzione è continua, ci sarà un valore di ascissa in cui la funzione dovrà forzatamente valere zero, ok.
Ma passiamo alla dimostrazione. Ho considerato questa riportata su wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Bolzano.
La dimostrazione è per assurdo, partendo da ipotesi assurde, se si giunge ad un assurdo, si dimostra il contrario, ok.
Si suppone che f(x) sia diverso da zero per qualsiasi valore di x appartenente all'intervallo [a.b](è questo l'assurdo). Si definisce l'insieme E come quei valori di x per cui la funzione è negativa, ok. Si suppone,dato che l'insieme non è vuoto, che ci sia un estremo superiore x0. Ricordiamo che l'estremo superiore per un insieme limitato superiormente è il minimo dei maggioranti.
Si passa ad elencare le proprietà di qusto x0, dicendo che se è estremo superiore è un maggiorante e che se y0
Dice che il valore di f(x0) è diverso da zero, come stabilito da ipotesi(si dice che la funzione è sempre diversa da zero, quindi anche per x0). Dice però che si giunge ad un assurdo, ma non ho capito perchè.
Cioè se supponiamo per esempio f(x)>0, per il teorema della permanenza del segno esite un delta per cui per ogni x appartenente all'intervallo [x0-delta,x0], f(x)>0 e ciò è in contrasto con la seconda proprietà dell'estremo superiore? Cioè? Perché?
Ma passiamo alla dimostrazione. Ho considerato questa riportata su wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Bolzano.
La dimostrazione è per assurdo, partendo da ipotesi assurde, se si giunge ad un assurdo, si dimostra il contrario, ok.
Si suppone che f(x) sia diverso da zero per qualsiasi valore di x appartenente all'intervallo [a.b](è questo l'assurdo). Si definisce l'insieme E come quei valori di x per cui la funzione è negativa, ok. Si suppone,dato che l'insieme non è vuoto, che ci sia un estremo superiore x0. Ricordiamo che l'estremo superiore per un insieme limitato superiormente è il minimo dei maggioranti.
Si passa ad elencare le proprietà di qusto x0, dicendo che se è estremo superiore è un maggiorante e che se y0
Dice che il valore di f(x0) è diverso da zero, come stabilito da ipotesi(si dice che la funzione è sempre diversa da zero, quindi anche per x0). Dice però che si giunge ad un assurdo, ma non ho capito perchè.
Cioè se supponiamo per esempio f(x)>0, per il teorema della permanenza del segno esite un delta per cui per ogni x appartenente all'intervallo [x0-delta,x0], f(x)>0 e ciò è in contrasto con la seconda proprietà dell'estremo superiore? Cioè? Perché?
Risposte
Perché tutti i punti appartenenti a quell'intervallo sarebbero più piccoli di x0 ma più grandi di tutti gli elementi di E, quindi sarebbero maggioranti più piccoli di x0, che quindi non sarebbe l'estremo superiore.
Dunque x0 non può essere più grande di 0, non può essere uguale a 0 per l'ipotesi per assurdo e non può essere minore di 0, perché altrimenti non sarebbe maggiorante (esisterebbe un delta di numeri negativi tra lui e 0).
Assurdo.
(primo post! ciao a tutti!)
Ettore
Dunque x0 non può essere più grande di 0, non può essere uguale a 0 per l'ipotesi per assurdo e non può essere minore di 0, perché altrimenti non sarebbe maggiorante (esisterebbe un delta di numeri negativi tra lui e 0).
Assurdo.
(primo post! ciao a tutti!)
Ettore
Non capisco perché non può essere più grande di zero o più piccolo di zero 
Grazie, cercherò di leggerli bene.
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