Teorema degli incrementi finiti
Ho difficoltà a ricollegare il teorema così come è scritto sulla mia dispensa con quello che trovo in internet.
Siano $alphaRR^m$ , $g:[alpha,beta]->RR$
funzioni verificanti le condizioni:
* $f,g$ sono continue su $[alpha,beta]$,
*$f,g$ sono differenziabili su $(alpha,beta)$,
*per ogni $t in (alpha,beta)$ si ha $||Jf(t)||<=Jg(t)$
o equivalentemente $||f^(1)(t)||<=g^(1)(t)$ (viene fatta la norma di f perchè è una funzione in più variabili?)
allora si ha: * $||f(beta)-f(alpha)||<=g(beta)-g(alpha)$
non riesco a trovare un'altra forma del teorema (più facile e intuitiva) su internet, qualcuno può spiegarmela? grazie in anticipo
Siano $alpha
funzioni verificanti le condizioni:
* $f,g$ sono continue su $[alpha,beta]$,
*$f,g$ sono differenziabili su $(alpha,beta)$,
*per ogni $t in (alpha,beta)$ si ha $||Jf(t)||<=Jg(t)$
o equivalentemente $||f^(1)(t)||<=g^(1)(t)$ (viene fatta la norma di f perchè è una funzione in più variabili?)
allora si ha: * $||f(beta)-f(alpha)||<=g(beta)-g(alpha)$
non riesco a trovare un'altra forma del teorema (più facile e intuitiva) su internet, qualcuno può spiegarmela? grazie in anticipo
Risposte
"gugo82":
Sono dispense disponibili sul web?
Magari ci diamo uno sguardo...
purtroppo no, col prossimo post inserisco la dimostrazione (mi scuso di già per la lunghezza
)
"Blackorgasm":
[quote="gugo82"]Sono dispense disponibili sul web?
Magari ci diamo uno sguardo...
purtroppo no, col prossimo post inserisco la dimostrazione (mi scuso di già per la lunghezza
)[/quote]Non puoi fare delle scansioni?
sia $epsilon$>0. Per ogni $t in [alpha,beta]$ si ponga
$h(t)=||f(t)-f(alpha)||-(g(t)-g(alpha)+epsilon*(t-alpha)+epsilon)$;
si ponga inoltre $U={t in [alpha,beta]: h(t)>0}$ (l'obiettivo è di provare che $U=O/$)
siccome $h: [alpha,beta]->RR$ è una funzione continua, esiste $A sub RR$ aperto tale che $U=[alpha,beta] nn A$.
Supponiamo per assurdo che $U!=O/$ e poniamo $gamma$=estremo inferiore di $U$;
ovviamente si ha che $gamma in [alpha,beta]$.
Si osservi che:
* $alpha0$ tale che per ogni $t in [alpha,alpha+mu)$ si ha $h(t)<0$
* $gamma
* $gamma !in U$: infatti se fosse $gamma in U=[alpha,beta] nn A$, essendo $alpha0$ tale che $(gamma-mu,gamma+mu) sub U$, il che è assurdo.
* essendo $alpha
* essendo $f'(gamma)=lim_(t->gamma) (1/(t-gamma))*(f(t)-f(gamma))$ e $g'(gamma)=lim_(t->gamma) (1/(t-gamma))*(g(t)-g(gamma))$
esiste $nu>0$ tale che per ogni $t in (gamma,gamma+nu)$ si ha $(1/(t-gamma))||f(t)-f(gamma)||-epsilon/2<=||f'(gamma)||$
$g'(gamma)<=(1/(t-gamma))(g(t)-g(gamma))+epsilon/2$,
* allora per ogni $t in (gamma,gamma+nu)$ si ha $(1/(t-gamma))||f(t)-f(gamma)||-epsilon/2<=||f'(gamma)||<=g'(gamma)<=(1/(t-gamma))(g(t)-g(gamma))+epsilon/2$,
e quindi si ha $||f(t)-f(gamma)||<=(g(t)-g(gamma))+epsilon(t-gamma)$,
* essendo $gamma !in U$ si ha $||f(gamma)-f(alpha)||<=g(gamma)-g(alpha)+epsilon(gamma-alpha)+epsilon$,
* per ogni $t in (gamma,gamma+nu)$ si ha allora $||f(t)-f(alpha)||=||f(t)-f(gamma)+f(gamma)-f(alpha)||<=||f(t)-f(gamma)||+||f(gamma)-f(alpha)||<=g(t)-g(gamma)+epsilon(t-gamma)+g(gamma)-g(alpha)+epsilon(gamma-alpha)+epsilon=g(t)-g(alpha)+epsilon(t-alpha)+epsilon$
ossia si ha $h(t)<=0$,
* per ogni $t in [gamma,gamma+nu)$ si ha quindi $h(t)<=0$; ciò è assurdo, essendo $gamma$=estremo inferiore di $U$=${t in [alpha,beta]: h(t)>0}$
Si ha allora $U=O/.$
Dato comunque $epsilon>0$, per ogni $t in [alpha,beta]$ si ha quindi $||f(t)-f(alpha)||<=g(t)-g(alpha)+epsilon(t-alpha)+epsilon$; di conseguenza, per ogni $t in [alpha,beta]$ si ha $||f(t)-f(alpha)||<=g(t)-g(alpha)$, e in particolare $||f(beta)-f(alpha)||<=g(beta)-g(alpha)$.
scrivetemi per eventuali errori di battitura, sono quasi impazzito a scriverla tutta
$h(t)=||f(t)-f(alpha)||-(g(t)-g(alpha)+epsilon*(t-alpha)+epsilon)$;
si ponga inoltre $U={t in [alpha,beta]: h(t)>0}$ (l'obiettivo è di provare che $U=O/$)
siccome $h: [alpha,beta]->RR$ è una funzione continua, esiste $A sub RR$ aperto tale che $U=[alpha,beta] nn A$.
Supponiamo per assurdo che $U!=O/$ e poniamo $gamma$=estremo inferiore di $U$;
ovviamente si ha che $gamma in [alpha,beta]$.
Si osservi che:
* $alpha
* $gamma
* $gamma !in U$: infatti se fosse $gamma in U=[alpha,beta] nn A$, essendo $alpha
* essendo $alpha
* essendo $f'(gamma)=lim_(t->gamma) (1/(t-gamma))*(f(t)-f(gamma))$ e $g'(gamma)=lim_(t->gamma) (1/(t-gamma))*(g(t)-g(gamma))$
esiste $nu>0$ tale che per ogni $t in (gamma,gamma+nu)$ si ha $(1/(t-gamma))||f(t)-f(gamma)||-epsilon/2<=||f'(gamma)||$
$g'(gamma)<=(1/(t-gamma))(g(t)-g(gamma))+epsilon/2$,
* allora per ogni $t in (gamma,gamma+nu)$ si ha $(1/(t-gamma))||f(t)-f(gamma)||-epsilon/2<=||f'(gamma)||<=g'(gamma)<=(1/(t-gamma))(g(t)-g(gamma))+epsilon/2$,
e quindi si ha $||f(t)-f(gamma)||<=(g(t)-g(gamma))+epsilon(t-gamma)$,
* essendo $gamma !in U$ si ha $||f(gamma)-f(alpha)||<=g(gamma)-g(alpha)+epsilon(gamma-alpha)+epsilon$,
* per ogni $t in (gamma,gamma+nu)$ si ha allora $||f(t)-f(alpha)||=||f(t)-f(gamma)+f(gamma)-f(alpha)||<=||f(t)-f(gamma)||+||f(gamma)-f(alpha)||<=g(t)-g(gamma)+epsilon(t-gamma)+g(gamma)-g(alpha)+epsilon(gamma-alpha)+epsilon=g(t)-g(alpha)+epsilon(t-alpha)+epsilon$
ossia si ha $h(t)<=0$,
* per ogni $t in [gamma,gamma+nu)$ si ha quindi $h(t)<=0$; ciò è assurdo, essendo $gamma$=estremo inferiore di $U$=${t in [alpha,beta]: h(t)>0}$
Si ha allora $U=O/.$
Dato comunque $epsilon>0$, per ogni $t in [alpha,beta]$ si ha quindi $||f(t)-f(alpha)||<=g(t)-g(alpha)+epsilon(t-alpha)+epsilon$; di conseguenza, per ogni $t in [alpha,beta]$ si ha $||f(t)-f(alpha)||<=g(t)-g(alpha)$, e in particolare $||f(beta)-f(alpha)||<=g(beta)-g(alpha)$.
scrivetemi per eventuali errori di battitura, sono quasi impazzito a scriverla tutta
@gugo82: non ho lo scanner, mi dispiace 
Dove trovi difficoltà, in particolare, Blackorgasm?
la funzione $h(t)$ è ausiliaria per utilizzare il teorema di Rolle come detto nei post prima? perchè dobbiamo dimostrare che $U=O/$?
Al momento su Rolle non saprei non ho ancora esaminato tutto ma andiamo per ordine.
La funzione h ti serve per dimostrare la tesi cioè la disuguaglianza.
Se [tex]$U= \emptyset $[/tex] allora [tex]$ \forall t \in [ \alpha, \beta ] $[/tex], [tex]$ h(t) \le 0 $[/tex] ossia
[tex]$ ||f(t)-f( \alpha)||-(g(t)-g( \alpha)+ \epsilon *(t- \alpha )+ \epsilon) \le 0 $[/tex]
da cui ottengo subito la tesi cioè
[tex]$ ||f(t)-f( \alpha )||-(g(t)-g( \alpha ) ) \le 0 $[/tex]
Dimmi se hai dubbi.
La funzione h ti serve per dimostrare la tesi cioè la disuguaglianza.
Se [tex]$U= \emptyset $[/tex] allora [tex]$ \forall t \in [ \alpha, \beta ] $[/tex], [tex]$ h(t) \le 0 $[/tex] ossia
[tex]$ ||f(t)-f( \alpha)||-(g(t)-g( \alpha)+ \epsilon *(t- \alpha )+ \epsilon) \le 0 $[/tex]
da cui ottengo subito la tesi cioè
[tex]$ ||f(t)-f( \alpha )||-(g(t)-g( \alpha ) ) \le 0 $[/tex]
Dimmi se hai dubbi.
ok su questo ci sono 
Ah dove ho scritto "da cui ottengo subito la tesi" la tesi la ottengo per l'arbitrarietà di [tex]$\epsilon$[/tex] chiaro?
Riguardo A ed U ti è chiaro perché sono aperti?
Te lo chiedo perché la prima volta che ho letto questa dimostrazione sul De Marco, abbastanza simile, ci ho sbattuto un po' il muso!
Altrimenti andiamo avanti e dimmi altri dubbi...
Riguardo A ed U ti è chiaro perché sono aperti?
Te lo chiedo perché la prima volta che ho letto questa dimostrazione sul De Marco, abbastanza simile, ci ho sbattuto un po' il muso!
Altrimenti andiamo avanti e dimmi altri dubbi...
per il discorso di $epsilon$ ci sono; per $A$ e $U$ essi sono aperti perchè (secondo un teorema sul libro) se $f$ è continua, allora per ogni $U sub RR^m$ aperto, esiste $omega sub RR^n$ aperto tale che $f^(-1)(U)=X nn omega$. Dico bene oppure ho detto una stupidaggine?
Naturalmente $X sub RR^n$ e $Y sub RR^m$ e $f: X->Y$
Scusate la mia difficoltà ma sono le prime volte che apro il libro quindi ne devo fare di strada per imparare analisi 2.
Naturalmente $X sub RR^n$ e $Y sub RR^m$ e $f: X->Y$
Scusate la mia difficoltà ma sono le prime volte che apro il libro
quindi ne devo fare di strada per imparare analisi 2.
Non dice stupidaggini. Conosci un po' di topologia? Non guasterebbe.
Il teorema di cui tu parli è semplicemente la definizione topologica di continuità, ossia una funzione è continua se la controimmagine di un aperto nel codominio è un aperto nel dominio.
Fare la controimmagine in $Y$ o in $RR^m$ è chiaramente indifferente e gli aperti nella topologia indotta in $X$ sono le intersezioni di aperti in $RR^n$ con $X$.
Forse sono stato un po' troppo stringato...
P.S. Figurati se non capisco le tue difficoltà in analisi 2. Ancora non passo l'esame!
Il teorema di cui tu parli è semplicemente la definizione topologica di continuità, ossia una funzione è continua se la controimmagine di un aperto nel codominio è un aperto nel dominio.
Fare la controimmagine in $Y$ o in $RR^m$ è chiaramente indifferente e gli aperti nella topologia indotta in $X$ sono le intersezioni di aperti in $RR^n$ con $X$.
Forse sono stato un po' troppo stringato...
P.S. Figurati se non capisco le tue difficoltà in analisi 2. Ancora non passo l'esame!
praticamente la topologia la sto studiando insieme ad analisi 2, è tutto sulle stesse dispense. Accenna qualche aspetto topologico per poi sfruttarlo in questi teoremi. grazie comunque fino ad ora per il tuo aiuto! Da solo sarei nel panico
grazie comunque fino ad ora per il tuo aiuto! Da solo sarei nel panico
Figurati mi fa piacere aiutare qualcuno ogni tanto oltre che chiedere continuamente aiuto.
Dimmi pure se ci sono altri punti oscuri.
Dimmi pure se ci sono altri punti oscuri.
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