Teorema degli incrementi finiti
Ho difficoltà a ricollegare il teorema così come è scritto sulla mia dispensa con quello che trovo in internet.
Siano $alphaRR^m$ , $g:[alpha,beta]->RR$
funzioni verificanti le condizioni:
* $f,g$ sono continue su $[alpha,beta]$,
*$f,g$ sono differenziabili su $(alpha,beta)$,
*per ogni $t in (alpha,beta)$ si ha $||Jf(t)||<=Jg(t)$
o equivalentemente $||f^(1)(t)||<=g^(1)(t)$ (viene fatta la norma di f perchè è una funzione in più variabili?)
allora si ha: * $||f(beta)-f(alpha)||<=g(beta)-g(alpha)$
non riesco a trovare un'altra forma del teorema (più facile e intuitiva) su internet, qualcuno può spiegarmela? grazie in anticipo
Siano $alpha
funzioni verificanti le condizioni:
* $f,g$ sono continue su $[alpha,beta]$,
*$f,g$ sono differenziabili su $(alpha,beta)$,
*per ogni $t in (alpha,beta)$ si ha $||Jf(t)||<=Jg(t)$
o equivalentemente $||f^(1)(t)||<=g^(1)(t)$ (viene fatta la norma di f perchè è una funzione in più variabili?)
allora si ha: * $||f(beta)-f(alpha)||<=g(beta)-g(alpha)$
non riesco a trovare un'altra forma del teorema (più facile e intuitiva) su internet, qualcuno può spiegarmela? grazie in anticipo
Risposte
$alpha$ si scrive col "ph"! Non "alfa" ma "alpha" sennò il parser non capisce. Ho aggiustato io
ops sorry 
In effetti non lo avevo mai visto in questa forma.
Possiamo ovviamente supporre $f(\beta)\ne f(\alpha)$, altrimenti la disuguaglianza è banalmente verificata.
Possiamo applicare il teorema di Rolle alla funzione ausiliaria $h: [\alpha, \beta]\to \mathbb{R}$ definita da
$h(t) := (g(\beta)-g(\alpha)) [f(t)-f(\alpha)]\cdot [f(\beta)-f(\alpha)] - g(t) ||f(\beta)-f(\alpha)||^2$.
Esiste dunque $c\in (\alpha, \beta)$ tale che $h'(c) = 0$, cioè
$g'(c) ||f(\beta)-f(\alpha)||^2 = (g(\beta)-g(\alpha)) f'(c)\cdot [f(\beta)-f(\alpha)]$.
Applicando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz otteniamo
$g'(c) ||f(\beta)-f(\alpha)||^2 \le (g(\beta)-g(\alpha)) ||f'(c)||\ ||f(\beta)-f(\alpha)||$.
Poiché stiamo supponendo $||f(\beta)-f(\alpha)|| > 0$, semplificando e ricordando che $||f'(c)|| \le g'(c)$ otteniamo
$g'(c) ||f(\beta)-f(\alpha)|| \le (g(\beta)-g(\alpha)) g'(c)$.
Caso 1: se supponiamo, in aggiunta, che $g'(t) > 0$ per ogni $t\in (\alpha,\beta)$, semplificando $g'(c)$ otteniamo la tesi.
Caso 2: in generale sappiamo solo che $g'(t)\ge 0$ per ogni $t\in (\alpha,\beta)$.
Fissato $\epsilon > 0$, la funzione $g_{\epsilon}(t) = g(t) + \epsilon t$ soddisfa le ipotesi del caso 1. Abbiamo dunque che
$||f(\beta)-f(\alpha)|| \le g_{\epsilon}(\beta)- g_{\epsilon}(\alpha) = g(\beta) - g(\alpha) + \epsilon (\beta-\alpha)$.
La tesi segue dunque dall'arbitrarietà di $\epsilon$.
Possiamo ovviamente supporre $f(\beta)\ne f(\alpha)$, altrimenti la disuguaglianza è banalmente verificata.
Possiamo applicare il teorema di Rolle alla funzione ausiliaria $h: [\alpha, \beta]\to \mathbb{R}$ definita da
$h(t) := (g(\beta)-g(\alpha)) [f(t)-f(\alpha)]\cdot [f(\beta)-f(\alpha)] - g(t) ||f(\beta)-f(\alpha)||^2$.
Esiste dunque $c\in (\alpha, \beta)$ tale che $h'(c) = 0$, cioè
$g'(c) ||f(\beta)-f(\alpha)||^2 = (g(\beta)-g(\alpha)) f'(c)\cdot [f(\beta)-f(\alpha)]$.
Applicando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz otteniamo
$g'(c) ||f(\beta)-f(\alpha)||^2 \le (g(\beta)-g(\alpha)) ||f'(c)||\ ||f(\beta)-f(\alpha)||$.
Poiché stiamo supponendo $||f(\beta)-f(\alpha)|| > 0$, semplificando e ricordando che $||f'(c)|| \le g'(c)$ otteniamo
$g'(c) ||f(\beta)-f(\alpha)|| \le (g(\beta)-g(\alpha)) g'(c)$.
Caso 1: se supponiamo, in aggiunta, che $g'(t) > 0$ per ogni $t\in (\alpha,\beta)$, semplificando $g'(c)$ otteniamo la tesi.
Caso 2: in generale sappiamo solo che $g'(t)\ge 0$ per ogni $t\in (\alpha,\beta)$.
Fissato $\epsilon > 0$, la funzione $g_{\epsilon}(t) = g(t) + \epsilon t$ soddisfa le ipotesi del caso 1. Abbiamo dunque che
$||f(\beta)-f(\alpha)|| \le g_{\epsilon}(\beta)- g_{\epsilon}(\alpha) = g(\beta) - g(\alpha) + \epsilon (\beta-\alpha)$.
La tesi segue dunque dall'arbitrarietà di $\epsilon$.
Giusto per curiosità: qualcuno sa da cosa deriva il nome "Teorema degli incrementi finiti"?
Pensa al teorema di Lagrange: ti permette di calcolare l'incremento di una funzione su un intervallo prefissato.
Viceversa, la sola definizione di derivata ti fornisce informazioni sull'incremento della funzione solo su un intervallo di ampiezza "piccola", ma senza darti nessuna informazione su cosa vuol dire "piccola".
Quando tu scrivi
(*) $f(x) - f(x_0) = f'(x_0) (x-x_0) + o(x-x_0)$
stai dicendo che l'incremento $f(x)-f(x_0)$ vale circa $f'(x_0)(x-x_0)$ quando $x$ è "abbastanza vicino" a $x_0$.
Ma cosa vuol dire quell'abbastanza vicino? Deve essere $|x-x_0| < 1/100$? Oppure $<1/1000$? Ovviamente non lo puoi sapere guardando solo la (*).
Quindi, in maniera molto imprecisa: incremento finito -> intervallo di lunghezza finita, per distinguerlo dagli intervalli "infinitesimi".
La funzione del teorema di Lagrange è infatti quella di trasportare su un intervallo prefissato le informazioni locali che ti fornisce la derivata (pensa, ad esempio, alla caratterizzazione della monotonia per le funzioni derivabili su un intervallo).
Viceversa, la sola definizione di derivata ti fornisce informazioni sull'incremento della funzione solo su un intervallo di ampiezza "piccola", ma senza darti nessuna informazione su cosa vuol dire "piccola".
Quando tu scrivi
(*) $f(x) - f(x_0) = f'(x_0) (x-x_0) + o(x-x_0)$
stai dicendo che l'incremento $f(x)-f(x_0)$ vale circa $f'(x_0)(x-x_0)$ quando $x$ è "abbastanza vicino" a $x_0$.
Ma cosa vuol dire quell'abbastanza vicino? Deve essere $|x-x_0| < 1/100$? Oppure $<1/1000$? Ovviamente non lo puoi sapere guardando solo la (*).
Quindi, in maniera molto imprecisa: incremento finito -> intervallo di lunghezza finita, per distinguerlo dagli intervalli "infinitesimi".
La funzione del teorema di Lagrange è infatti quella di trasportare su un intervallo prefissato le informazioni locali che ti fornisce la derivata (pensa, ad esempio, alla caratterizzazione della monotonia per le funzioni derivabili su un intervallo).
"Rigel":
In effetti non lo avevo mai visto in questa forma.
Nemmeno io, a dire la verità.
Interessante, anche se non mi vengono in mente applicazioni al momento.
Grazie per la dimostrazione Rigel.
qui si vede la differenza tra uno studente di ingegneria ed uno di matematica 
grazie Rigel.
Ps: domanda, la funzione ausiliaria $h(t)$ è scelta arbitrariamente?
grazie Rigel.Ps: domanda, la funzione ausiliaria $h(t)$ è scelta arbitrariamente?
"Blackorgasm":
Ps: domanda, la funzione ausiliaria $h(t)$ è scelta arbitrariamente?
La funzione [tex]$h$[/tex] credo sia scelta a quel modo per mimare la dimostrazione del teorema classico.
La scelta nella dimostrazione classica è un trucco che consente di riportare il tutto alle ipotesi del teorema di Rolle, niente di più, niente di meno.
ok grazie mille a tutti quanti 
"Blackorgasm":
qui si vede la differenza tra uno studente di ingegneria ed uno di matematica
Ps: domanda, la funzione ausiliaria $h(t)$ è scelta arbitrariamente?
Eh eh, magari fossi ancora uno studente
(Comunque non sono mai stato studente di matematica.)
Come ti ha già detto gugo, la scelta di $h(t)$ è fatta in analogia alla scelta della funzione ausiliaria che si fa nella dimostrazione del teorema di Cauchy.
ops piccola gaffe 
@Rigel: Giusto per curiosità, che hai studiato? Ingegneria, Fisica o cos'altro?
Fisica, svariati anni fa.
"gugo82":
Interessante, anche se non mi vengono in mente applicazioni al momento.
Io questo teorema l'avevo trovato sul De Marco, Analisi 2 e non sapevo si chiamasse così.
Il De Marco lo considera un lemma da cui segue immediatamente il teorema del valor medio per funzioni vettoriali di una variabile reale.
Teorema del valor medio per funzioni vettoriali di una variabile reale
Sia [tex]$f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n $[/tex] continua in tutto [tex]$[a,b]$[/tex], e derivabile in [tex]$[a,b]$[/tex] eccettuati al più i punti di un sottoinsieme finito [tex]$S$[/tex] di [tex]$[a,b]$[/tex]. Si ha allora
[tex]$||f(b)-f(a)|| \le ||f'||_{[a,b]} |b-a|$[/tex],
dove [tex]$||f'|| _{[a,b]}= \text{sup} \{ ||f'(t)|| : t \in [a,b] \backslash S \}$[/tex]
Dim.
Basta considerare [tex]$\phi( \xi ) = L \xi$[/tex] con [tex]$L=||f'|| _{[a,b]}$[/tex].
Ok, ho fatto un po' esercizio con il [tex]$ \LaTeX $[/tex].
Ovviamente il De Marco dimostra il lemma anche nel caso in cui S non sia vuoto, ma non azzardatevi a chiedermi di trascriverla, in caso potrei scannerizzarla!
P.S. Grazie per la spiegazione, Rigel.
[OT]@Leonardo: Questo è un altro di quei casi in cui se non usi la norma euclidea in [tex]\mathbb{R}^n[/tex] è tutto più difficile. Ne parlammo tempo fa con ViciousGoblin qui.
@Rigel: Io avrei scommesso non solo che tu fossi un matematico, ma anche uno specialista di Analisi. Complimenti per la tua preparazione!!!
@Rigel: Io avrei scommesso non solo che tu fossi un matematico, ma anche uno specialista di Analisi. Complimenti per la tua preparazione!!!
"dissonance":
@Rigel: Io avrei scommesso non solo che tu fossi un matematico, ma anche uno specialista di Analisi.
Ehm... (svariati - 4) anni fa ho anche fatto un dottorato (questa volta in matematica).
"dissonance":
[OT]@Leonardo: Questo è un altro di quei casi in cui se non usi la norma euclidea in [tex]\mathbb{R}^n[/tex] è tutto più difficile. Ne parlammo tempo fa con ViciousGoblin qui.
Puoi dirlo forte!
Comunque riguardo questi teoremi del valor medio mi sembra di aver capito dal De Marco che si possono estendere anche in spazi di Banach di dimensione infinita con norma qualsiasi, l'unico problema, come sempre, è definire l'integrale e dimostrare le sue proprietà!
anche il mio prof sulle dispense da la dimostrazione, ma è una roba assurda non ci si capisce niente (ed il bello è che dura tre pagine piene). Oltre al danno la beffa, visto che lui accetta solamente le sue dimostrazioni 
Sono dispense disponibili sul web?
Magari ci diamo uno sguardo...
Magari ci diamo uno sguardo...
"Blackorgasm":
anche il mio prof sulle dispense da la dimostrazione, ma è una roba assurda non ci si capisce niente (ed il bello è che dura tre pagine piene). Oltre al danno la beffa, visto che lui accetta solamente le sue dimostrazioni
Perché non provi a postarla? Forse riusciamo a capirci qualcosa...
Inoltre mi hai anche incuriosito a questo punto!
EDIT: ho postato insieme a Gugo...
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